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Biot-Savart-Gesetz

Biot-Savart-Gesetz

Das Biot-Savart-Gesetz beschreibt das Magnetfeld, das durch bewegte elektrische Ladungen erzeugt wird. Benannt wurde es nach den beiden französischen Mathematikern Jean Baptiste Biot und Félix Savart. Es stellt neben dem Ampèreschen Gesetz über die Kraftwirkung magnetischer Felder auf bewegte elektrische Ladungen eines der beiden Grundgesetze der Magnetostatik, eines Teilgebiets der Elektrodynamik, dar.

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Ein Stromleiter der infinitesimalen Länge $\mathrm{d}\vec l$ am Ort $\vec r'$ , der von einem Strom I durchflossen wird, erzeugt am Ort $\vec r$ das Magnetfeld (vgl. Rechte-Hand-Regel):

$\mathrm{d}\vec H(\vec r) = \frac{1}{4\pi}\,I\,\mathrm{d}\vec{l} \times \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^3}$ .

Das gesamte Magnetfeld ergibt sich durch Aufsummieren aller vorhandenen infinitesimalen Stücke, also durch Integrieren. Das entstehende Wegintegral kann man unter Benutzung von $I\mathrm{d}\vec{l} = \vec{v} \mathrm{d}q = \vec{v} \rho \mathrm{d}V = \vec{j} \mathrm{d}V$ in ein Volumenintegral umformen, wobei $\vec j$ die elektrische Stromdichte ist. Somit erhält man die integrale Form des Biot-Savartschen Gesetzes

$\vec H(\vec r)=\frac{1}{4\pi}\int_{V}\vec j(\vec{r}')\times\frac{\vec r-\vec{r}'}{|\vec r-\vec{r}'|^3}\;\mathrm{d}{V'}$ .

Diese beiden Formeln sind strukturell sehr eng verwandt mit denen des Coulombschen Gesetzes, das die Gestalt des elektrischen Feldes in Abhängigkeit einer Ladungsverteilung beschreibt, was aber wegen der Äquivalenz von magnetischen und elektrischen Feldern nicht verwunderlich ist.

In den beiden obigen Formeln wurde dabei vernachlässigt, dass die Stromleiter einen endlichen Querschnitt haben. In realen Anwendungen ist dieser im Vergleich zur Ausdehnung des Magnetfeldes aber auch tatsächlich ohne Bedeutung. Eine weitere Ungenauigkeit besteht darin, dass sich der Beitrag einer Ladung an einem Ort zum Magnetfeld an einem anderen Ort mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet. Der entsprechende Retardierungseffekt wird im Biot-Savart-Gesetz nicht berücksichtigt. Es ist daher nur für stationäre Ströme streng gültig und für Punktladungen in guter Näherung, sofern ihre Geschwindigkeit klein im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit ist.

Anwendung

ACHTUNG: Die Formeln unten sind teilweise falsch. Diese Warnung wird gelöscht, wenn die Formeln richtiggestellt wurden.

Kreisförmige Leiterschleife

Der Betrag der magnetische Feldstärke einer kreisförmigen Leiterschleife kann mit Hilfe des Biot-Savart-Gesetzes auf der Symmetrieachse senkrecht zur Leiterschleife geschlossen angegeben werden:

$H\left( x \right) = \frac{I}{2}\,\frac{r_Q^2}{\left(r_Q^2 + x^2 \right)^{3/2}}$

Dabei ist $r Q$ der Radius der in der y-z-Ebene liegenden Leiterschleife, und $x$ der Abstand des Beobachtungspunkts vom Zentrum der Leiterschleife. Das Feld ist in x-Richtung gerichtet.

Durch Substitution:

$\tan\alpha = \frac{r_Q}{x}$

erhält man daraus

$H\left(\alpha\right) = \frac{I}{2\, r_Q}\,\sin^3{\alpha}$

Im Fall $\left\| \mathbf{r}_Q \right\| \ll \left\|x\right\|$ Kann das Feld der Leiterschleife als Dipolfeld behandelt werden..

Gerader Linienleiter

Zur Berechnung der Flussdichte B in einem Punkt P kann man die folgende Formel anwenden:

$\mathbf{B} \left( \mathbf{P} \right) = \int{ \frac{\mu_0\,\mathrm{d}\mathbf{I} }{ 4\,\pi\,\mathbf{r}_{\overline{PQ}}^2 } \times \frac{\mathbf{r}_{\overline{PQ}} }{\left\| \mathbf{r}_{\overline{PQ}} \right\|} }$

Umgelegt auf die Winkel erhält man

$\mathbf{B} \left( \mathbf{P} \right) = \frac{\mu_0\,\left\| \mathbf{I} \right\|}{4\,\pi} \, \int_{a_1}^{a_2}{ \frac{\rho \, \mathrm{d}\alpha}{ \cos^2{\alpha} } \, \frac{ \cos^2{\alpha} }{\rho^2} \, \cos{\alpha} \, \vec{e}_a}$

$\mathbf{B} \left( \mathbf{P} \right) = \frac{\mu_0 \, \left\| \mathbf{I} \right\|}{4\,\pi\,\rho} \, \left( \sin{\alpha_2} - \sin{\alpha_1} \right) \, \vec{e}_a$

mit

$n + s = \rho\,\tan{\alpha}$

$\left\| \mathbf{r}_{\overline{PQ}} \right\| = \frac{\rho}{\cos{\alpha}}$

$\mathrm{d}s = \frac{\rho\,\mathrm{d}\alpha}{\cos^2{\alpha}}$

wobei $ρ$ , $s$ und $n$ skalar abgebildet sind (d.h. es wird nur der Betrag und nicht die Richtung berücksichtigt).

Unendlich langer gerader Linienleiter

Für das Magnetfeld eines geraden, unendlich langen, Leiters auf der z-Achse ergibt das obige Linienintegral

$\mathbf{B}\left( \mathbf{P} \right) = \frac{\mu_0\,I}{2\,\pi\,\rho}\,\vec{e}_\phi$ ,

wobei $ρ$ der senkrechte Abstand zur z-Achse und $\vec e_\phi$ der Einheitsvektor bezüglich des Winkels $φ$ der zugehörigen Zylinderkoordinaten ist. Das Magnetfeld bildet damit konzentrische Kreise um den Leiter und nimmt umgekehrt proportional zum Abstand vom Leiter ab. In vektorieller Form erhält man:

$\mathbf{B}\left( \mathbf{P} \right) = - \frac{\mu_0\,\mathbf{I}}{2\,\pi}\times\frac{\mathbf{r}_{\overline{PQ}}}{\mathbf{r}_{\overline{PQ}}^2}$

Rahmenspule

Nach der runden Spule ist die Rahmenspule die am häufigsten verwendete Variante. Die Formel kann aus der Formel für den Linienleiter abgeleitet werden, indem man die geraden Abschnitte der Spule als Linienleiter behandelt.

$\mathbf{B} = \frac{\mu_0\,N\,I}{4\,\pi}\,2\,\left( \frac{2\,\sin{\alpha}}{\frac{\alpha}{2}} + \frac{2\,\sin{\beta}}{\frac{\alpha}{2}} \right) \,\vec{e}_x$

$\mathbf{B} = \frac{\mu_0\,N\,I}{4\,\pi}\,4\,\left( \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} \right)^\frac{1}{2} \,\vec{e}_x$

mit

$\sin{\alpha} = \frac{b}{\left( b^2 + a^2 \right)^\frac{1}{2}}$

$\sin{\beta} = \frac{a}{\left( a^2 + b^2 \right)^\frac{1}{2}}$

Siehe auch

Kategorie: Elektrodynamik

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