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Oktaeder



Das Oktaeder [ɔktaˈeːdɐ] (nach griech. oktáedron = Achtflächner) ist einer der fünf platonischen Körper, genauer ein regelmäßiges Polyeder (Vielflächner) mit

  • acht (kongruenten) gleichseitigen Dreiecken als Flächen
  • zwölf (gleich langen) Kanten und
  • sechs Ecken, in denen jeweils vier Flächen zusammentreffen

Das Oktaeder ist sowohl eine gleichseitige vierseitige Bipyramide (mit quadratischer Grundfläche) als auch ein gleichseitiges Antiprisma (mit einem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche).

Drei senkrecht zueinander stehende Quadrate, die
jeweils die Grundfläche einer Bipyramide bilden

Inhaltsverzeichnis

Symmetrie

  Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig – ist das Oktaeder ein reguläres Polyeder. Es hat:

  • drei vierzählige Drehachsen (durch gegenüber liegende Ecken)
  • vier dreizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüber liegender Flächen)
  • sechs zweizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüber liegender Kanten)
  • neun Symmetrieebenen (drei Ebenen durch je vier Ecken, sechs Ebenen durch jeweils zwei Ecken und zwei Kantenmittelpunkte)

und ist

  • punktsymmetrisch (zentralsymmetrisch)

Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Oktaeders - die Oktaeder- oder Würfelgruppe - 48 Elemente.

Beziehungen zu anderen Polyedern

Das Oktaeder ist das zum Hexaeder (Würfel) duale Polyeder (und umgekehrt).

Setzt man auf die Seiten des Oktaeders Tetraeder auf, entsteht das Sterntetraeder.

Mithilfe von Oktaeder und Würfel können zahlreiche Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Würfelgruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel

  • das abgestumpfte Oktaeder mit 8 Sechsecken und 6 Quadraten
  • das Kuboktaeder mit 8 Dreiecken und 6 Quadraten, also mit 14 Flächen, und 12 Ecken
  • den abgestumpften Würfel mit 8 Dreiecken und 6 Achtecken

als Durchschnitte eines Oktaeders mit einem Würfel (siehe archimedische Körper) und

als konvexe Hülle einer Vereinigung eines Oktaeders mit einem Würfel.

Formeln

Größen eines Oktaeders mit Kantenlänge a
Volumen V \, = \, \frac{\sqrt{2}}{3} \, a^3 \approx 0{,}47 \, a^3
Oberflächeninhalt A_O \, = \, 2 \sqrt{3} \, a^2 \approx 3{,}46 \, a^2
Umkugelradius r_u \, = \, \frac{\sqrt{2}}{2} \, a \approx 0{,}71 \, a
Inkugelradius r_i \, = \, \frac{\sqrt{6}}{6} \, a \approx 0{,}41 \, a
Verhältnis von Volumen
zu Umkugelvolumen
\frac{V}{V_{UK}} = \frac{1}{\pi} \, \approx 0{,}32

Verallgemeinerung

Die Analoga des Oktaeders in beliebiger Dimension n werden als (n-dimensionale) Kreuzpolytope bezeichnet und sind ebenfalls reguläre Polytope. Das n-dimensionale Kreuzpolytop hat 2n Ecken und wird von 2n (n-1)-dimensionalen Simplexen (als Facetten) begrenzt. Das vierdimensionale Kreuzpolytop hat 8 Ecken, 24 gleich lange Kanten, 32 gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen und 16 Tetraeder als Facetten. (Das eindimensionale Kreuzpolytop ist eine Strecke, das zweidimensionale Kreuzpolytop ist das Quadrat.)

Ein Modell für das n-dimensionale Kreuzpolytop ist die Einheitskugel bezüglich der l1-Norm

\left\| x \right \|_1         = \left\vert x_1 \right\vert +\cdots+ \left\vert x_n \right\vert für x = ( x_1 ,\dots, x_n) \in \mathbb R^n

im Vektorraum Rn. Und zwar ist das (abgeschlossene) Kreuzpolytop daher

  • die Menge
\left\{ x \in \mathbb R^n \mid \left\|x\right\|_1 \le 1 \right\}     = \left\{ (x_1,\dots,x_n) \mid \left\vert x_1 \right\vert +\cdots+ \left\vert x_n \right\vert \le 1 \right\}.
  • die konvexe Hülle der 2n Eckpunkte \pm e_i, wobei ei die Einheitsvektoren sind.
  • der Durchschnitt der 2n Halbräume, die durch die Hyperebenen der Form
\pm x_1 +\cdots+ \pm x_n = 1
bestimmt werden und den Ursprung enthalten.
 
Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Oktaeder aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation. In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.
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