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Ortsoperator



Der Ortsoperator ist das mathematische Objekt, das in der Quantenmechanik die Messung der Position eines Teilchens beschreibt.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Einem physikalischen System (Teilchen) wird je nach Präparation ein Zustandsvektor Ψ zugewiesen. Solch ein Zustandsvektor ist Element eines Hilbertraumes H und die Observablen werden durch selbstadjungierte lineare Operatoren auf diesem Raum dargestellt. Speziell ist der Ortsoperator die Zusammenfassung der drei Observablen \hat{\mathbf{x}}=(\hat{x}_1,\hat{x}_2,\hat{x}_3), so dass der Wert

E(\hat{x}_i)=\langle \Psi|\hat{x}_i \Psi\rangle

den Mittelwert (Erwartungswert) der Messergebnisse bei Messung der i-ten Koordinate der Position des Teilchens im Raum beschreibt.

Ortsdarstellung

In der so genannten Ortsdarstellung ist der Hilbertraum H der Raum der quadratintegrierbaren Funktionen über dem Ortsraum. Ein Zustandsvektor Ψ wird in diesem Fall durch die Wellenfunktion \psi(\mathbf{x}) beschrieben. Die Operatoren \hat{\mathbf{x}}=(\hat{x}_1,\hat{x}_2,\hat{x}_3), die die obige Gleichung erfüllen sind in diesem Fall einfach die Multiplikationsoperatoren mit den Koordinatenfunktionen. D.h. die abstrakte Anwendung des Ortsoperators \hat{x}_i \Psi wird konkret durch die Multiplikation der Wellenfunktion mit den Koordinatenfunktionen x_i \psi(\mathbf{x}) ausgedrückt.

Der Erwartungswert berechnet sich dann durch:

E(\hat{x}_i)=\iiint \overline{\psi(\mathbf{x})}x_i \psi(\mathbf{x})\, \mathrm d^3 x.

Darstellung mit Erzeugungs- und Vernichtungsoperator

bei der Beschreibung des harmonischen Oszillators erweist sich die Darstellung mit Erzeugungs- und Vernichtungsoperator als praktisch:

x = \sqrt{\frac{\hbar}{2m{\omega}}}(a+a^{\dagger})

Eigenschaften

Wir beschränken uns hier auf den eindimensionalen Fall.

  • Der Ortsoperator ist ein selbstadjungierter Operator, dessen Spektrum (Bereich der möglichen Messwerte) die gesamte reelle Achse umfasst.
  • Das Spektrum ist also rein kontinuierlich und nicht entartet.
  • Hat das System keine anderen Freiheitsgrade (zusätzliche Dimensionen im Ortsraum oder innere Freiheitsgrade, d.h. Spin), so ist jeder andere Operator, der mit dem Ortsoperator vertauscht, eine Funktion des Ortsoperators:
[A,\hat{x}]=0 \iff A=f(\hat{x}).
  • Insbesondere gilt für den Impulsoperator die kanonische Vertauschungsrelation
[\hat{p},\hat{x}]= \frac{\hbar}{i} \mathbf{1}.
  • Die Ortsdarstellung ist durch die Spektraldarstellung des Ortsoperators definiert: es ist die Darstellung
\mathbf{H} \to L^2(\mathbb{R}),
in der der Ortsoperator als Multiplikationsoperator mit den Koordinatenfunktionen xi dargestellt wird. Um diese Darstellung allerdings eindeutig zu machen, muss eine lokale Phasenfunktion γ(x) = eiλ(x) gewählt werden (hier besteht ein Zusammenhang mit der so genannten Eichinvarianz, z.B. in der Elektrodynamik).
  • In der so genannten Impulsdarstellung wird der Impulsoperator, der in Ortsdarstellung durch den Differentialoperator \hat{p}=\frac{\hbar}{i}\frac{\mathrm d}{\mathrm d x} dargestellt wird, multiplikativ, d.h. \hat{p}=p. Der Ortsoperator hat dann die Darstellung \hat{x}= {-} \frac{\hbar}{i}\frac{\mathrm d}{\mathrm dp}.
 
Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Ortsoperator aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation. In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.
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