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Pyramide_(Geometrie)

Pyramide (Geometrie)

Die Pyramide gehört zu den (dreidimensionalen) Körpern, die in der Geometrie betrachtet werden.

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Inhaltsverzeichnis

1 Definition und Begriffe
2 Spezialfälle
3 Eigenschaften
4 Oberflächenberechnung (quadratische Pyramide)
- 4.1 Mantelflächenberechnung (quadratische Pyramide)
5 Längenberechnung der Steilkanten (quadratische Pyramide)
6 Berechnung der Gesamtkantenlänge (quadratische Pyramide)
7 Volumenberechnung
8 Verallgemeinerung
9 Verwandte Begriffe

Definition und Begriffe

Eine Pyramide ist ein spezielles Polyeder (also ein Vielflächner). Sie wird begrenzt von einem Vieleck (Polygon) beliebiger Eckenzahl (der Grundfläche) und mindestens drei Dreiecken (Seitenflächen), die in einem Punkt (der Spitze der Pyramide) zusammentreffen. Die Gesamtheit der Seitenflächen bezeichnet man als Mantelfläche.

Hat die Grundfläche einer Pyramide n Ecken, so ist die Anzahl der (dreieckigen) Seitenflächen ebenfalls gleich n, sodass die Pyramide insgesamt n+1 Flächen hat. In diesem Fall besitzt die Pyramide n+1 Ecken, nämlich n Ecken der Grundfläche und die Spitze, sowie 2n Kanten, nämlich n Kanten der Grundfläche und n Kanten, welche die Ecken der Grundfläche mit der Spitze verbinden. Damit ist der eulersche Polyedersatz über die Anzahlen von Ecken (e), Flächen (f) und Kanten (k) erfüllt:

e + f = (n + 1) + (n + 1) = 2 n + 2 = k + 2.

Für die Berechnung des Pyramidenvolumens (siehe unten) ist der Begriff der Höhe wichtig. Man versteht darunter den (kürzesten) Abstand der Spitze von der Ebene, in der die Grundfläche liegt. Der Fußpunkt der Höhe muss dabei nicht unbedingt im Inneren der Grundfläche liegen.

Spezialfälle

Tetraeder

Eine Pyramide, die als Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck hat und deren drei Seitenflächen ebenfalls gleichseitige, zur Grundfläche kongruente Dreiecke sind, nennt man Tetraeder (Vierflächner), da sie aus vier gleichen Flächen besteht. Wenn man sie umkippen würde, würde sie noch genauso aussehen wie vorher.

Gerade Pyramide

Eine Pyramide heißt gerade, wenn alle Seitenkanten (d. h. alle Kanten, die von der Spitze ausgehen) gleich lang sind. Aus dieser Bedingung folgt, dass die Grundfläche einen Umkreis besitzen muss. Es existiert also nicht zu jeder Grundfläche eine gerade Pyramide.

Regelmäßige (reguläre) Pyramide

Von einer regelmäßigen oder regulären Pyramide spricht man, wenn die Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist und der Mittelpunkt dieses Vielecks zugleich der Fußpunkt der Pyramidenhöhe ist. Jede regelmäßige Pyramide ist daher auch gerade. Zu den regelmäßigen Pyramiden zählen neben den schon erwähnten regelmäßigen Tetraedern auch die quadratischen Pyramiden. Diese haben ein Quadrat als Grundfläche, wobei die Verbindungsstrecke zwischen dem Quadratmittelpunkt und der Pyramidenspitze senkrecht zur Grundfläche verläuft.

Eigenschaften

Der Schwerpunkt einer Pyramide liegt auf der Verbindungsstrecke zwischen dem Schwerpunkt der Grundfläche und der Pyramidenspitze. Er teilt diese Strecke im Verhältnis 1:3. Im Spezialfall einer geraden regulären Pyramide liegt der Schwerpunkt daher in einer Höhe von $\frac{1}{4}h$ über dem Mittelpunkt der Grundfläche.

Oberflächenberechnung (quadratische Pyramide)

Die Oberfläche einer quadratischen Pyramide besteht aus der quadratischen Grundfläche (G) und dem Mantel (M)

Ist die Seitenlänge (a) gegeben, ergibt sich folgende Formel: $O = a 2 + M$

Mantelflächenberechnung (quadratische Pyramide)

Bei einer regelmäßigen Pyramide mit quadratischer Grundfläche setzt sich die Mantelfläche aus den vier Flächen kongruenter, gleichschenkliger oder eventuell auch gleichseitiger Dreiecke zusammen. Siehe auch [1].

Sind die Seitenlänge (a) und die Pyramidenhöhe (h) gegeben, so ergeben sich folgende Formeln beziehungsweise Lösungsgleichungen:

Die Fläche eines dieser Dreiecke ist: $A_D = \frac{h_a}{2}\,a$ , alle vier Flächen also: $M = 4 \frac{h_a}{2}\,a$ , oder nach Umformung: $M = 2 \ h_a \ a$

Hierbei ist $h a$ die Höhe der kongruenten Seitendreiecke.

Aus dem Satz des Pythagoras ergibt sich: ${h_a}^2 = h^2 + \frac{a^2}{4}$

daraus folgt: $h_a = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}}$ und damit für die Mantelfläche insgesamt: $M = 2a \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}}$ oder nach Umformung: $M = a \sqrt{4 \ h^2 + a^2}$

Längenberechnung der Steilkanten (quadratische Pyramide)

Neben den vier Grundflächenkanten (a), die mit der Seitenlänge identisch sind, besitzt die quadratische Pyramide noch vier gleich lange Steilkanten auch Grate genannt (AS), (BS), (CS) und (DS), welche von den Eckpunkten der Grundfläche ausgehen und nach oben ansteigend sich in der Pyramidenspitze (S) treffen.

Sind die Seitenlänge (a) und die Pyramidenhöhe (h) gegeben, so ergeben sich folgende Formeln beziehungsweise Lösungsgleichungen:

Zunächst muss die Länge der Grundflächendiagonale (d) berechnet werden. Diese ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras: $d 2 = a 2 + a 2$ daraus folgt: $d = \sqrt{2a^2} = a \sqrt{2}$

Für die weitere Berechnung benötigt man die Hälfte von (d), also: $\frac{d}{2}$ ist dann $\frac{a}{2}\sqrt{2}$ und das Quadrat davon ist nach Umformung $\frac{a^2}{2}$

Zur Berechnung von AS verwendet man wieder den Satz des Pythagoras: ${AS}^2 = h^2 + \frac{a^2}{2}$ und daraus folgt dann für den Grat $AS = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{2}}$

Berechnung der Gesamtkantenlänge (quadratische Pyramide)

Die Gesamtkantenläge der quadratischen Pyramide (K) setzt sich aus den vier Seitenlängen (a) und den vier gleich langen Graten (AS), (BS), (CS) und (DS) zusammen. Sind wiederum die Seitenlänge (a) und die Pyramidenhöhe (h) gegeben, ergibt sich für die Gesamtkantenläge folgende Lösungsgleichung:

$K = 4 \ a + 4 \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{2}}$ oder nach Umformung $K = 4 ( a + \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{2}})$

Volumenberechnung

Formel

Das Volumen V einer Pyramide errechnet sich aus dem Inhalt der Grundfläche (G) und der Höhe (h) gemäß

$V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$

Diese Formel gilt für alle Pyramiden. Es spielt also keine Rolle, ob die Grundfläche ein Dreieck, Viereck, Fünfeck, ... ist. Die Formel ist auch gültig, wenn der Höhenfußpunkt nicht mit dem Grundflächenmittelpunkt übereinstimmt oder die Grundfläche gar keinen Mittelpunkt besitzt. Im Spezialfall einer quadratischen Pyramide ergibt sich $V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h$ , wobei a die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche ist und h die Höhe. Die allgemeine Formel $V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$ entspricht übrigens der Volumenformel $V = \frac{1}{3} \cdot r^2 \cdot \pi \cdot h$ für einen Kreiskegel. Dies liegt daran, dass jede Pyramide die Definition eines allgemeinen Kegels erfüllt.

Elementargeometrische Begründung

Die erwähnte Volumenformel lässt sich elementargeometrisch in drei Schritten begründen:

1. Zwei Pyramiden mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe stimmen im Volumen überein.

Zum Beweis dieser Aussage kann man das Prinzip von Cavalieri und die Gesetze der zentrischen Streckung heranziehen.

2.a) Für Pyramiden mit dreieckiger Grundfläche gilt die Volumenformel $V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$ .

Diese Behauptung ergibt sich aus der Möglichkeit, ein gerades Dreiecksprisma mit der Grundfläche G und der Höhe h in drei Dreieckspyramiden gleichen Volumens zu zerlegen.

2.b) Für Pyramiden mit quadratischer Grundfläche gilt die Volumenformel $V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$ .

Diese Behauptung ergibt sich aus der Möglichkeit, einen Würfel in drei identische quadratische Pyramiden zu zerlegen (welche jeweils in Koordinatenrichtung x,y und z gewissermaßen „kristallisieren“).

3. Die Volumenformel gilt für jede beliebige Pyramide.

Zu einer gegebenen Pyramide gibt es nämlich eine Dreieckspyramide mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe, die nach 1. das gleiche Volumen besitzt. Da nach 2. die Volumenformel für die Dreieckspyramide richtig ist, muss diese Formel auch für die ursprüngliche Pyramide gelten.

Begründung mit Hilfe der Integralrechnung

Der Rauminhalt einer Pyramide mit der Grundfläche G und Höhe h kann berechnet werden, wenn man sich die Pyramide aus dünnen (infinitesimalen) Schichten der Dicke dy parallel zur Grundfläche aufgebaut vorstellt. Eine y-Achse lege man nun durch die Spitze der Pyramide, so dass die Höhe h mit der y-Achse zusammenfällt. Bezeichnet man die Fläche der Schicht im Abstand y von der Spitze mit $A (y)$ , so kann man aus den Gesetzen der zentrischen Streckung eine Formel für $A (y)$ herleiten:

$A(y) : G = y^2 : h^2 \, \rightarrow \, A(y) = \frac{G}{h^2}y^2$

Das Volumen einer Schicht ist dann dV = A(y)dy. Schließlich ist das Volumen der Pyramide die Summe der Volumina aller einzelnen Schichten. Diese Summe ergibt sich durch Integration von y=0 bis y=h.

$V=\int_{0}^{h} dV = \int_{0}^{h} A(y)\, \mathrm{d}y = \int_{0}^{h} \frac{G}{h^2}y^2\, \mathrm{d}y = \frac{G}{h^2}\int_{0}^{h} y^2\, \mathrm{d}y = \frac{G}{h^2} \cdot \frac{1}{3}\left[y^3\right]^h_0 = \frac{G}{h^2} \cdot \frac{1}{3}\left[h^3-0\right]=\frac{1}{3}G \cdot h$

Verallgemeinerung

Die Pyramide erfüllt die allgemeine Definition eines Kegels.