Quasikristall

In Quasikristallen sind die Atome bzw. Moleküle in einer scheinbar regelmäßigen, in Wahrheit aber aperiodischen Struktur angeordnet. Entdeckt wurden sie 1982 von Dan Shechtman.

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Muster in Quasikristallen

In einem normalen Kristall sind die Atome bzw. Moleküle in einer periodischen Struktur angeordnet. Diese wiederholt sich dreidimensional, ähnlich wie Honigwaben. Jede Zelle ist von Zellen umgeben, die ein identisches Muster bilden.

In einem Quasikristall sind die Atome bzw. Moleküle nur quasiperiodisch angeordnet. Lokal befinden sich die Atome in einer regelmäßigen Struktur, im globalen Maßstab aber ist die Struktur aperiodisch, jede Zelle ist von einem jeweils anderen Muster umgeben.

Besonders bemerkenswert an den Quasikristallen ist, dass sie eine fünfzählige Symmetrie ermöglichen. In einem normalen Kristall sind nur 1-, 2-, 3-, 4-, und 6-zählige Symmetrien möglich. Das ergibt sich daraus, dass der Raum nur auf diese Art mit kongruenten Teilen gefüllt werden kann. Vor der Entdeckung der Quasikristalle nahm man an, dass eine fünfzählige Symmetrie nie auftreten könne, weil es nicht möglich sei, den Raum entsprechend periodisch zu füllen.

Die Entdeckung der Quasikristalle half dabei, neu zu definieren, was das Wesen eines Kristalls ausmache. Quasikristalle haben keine periodischen Strukturen, aber sie besitzen scharfe Beugungspunkte.

Es gibt eine große Ähnlichkeit zwischen den Quasikristallen und der Penrose-Parkettierung, die Roger Penrose bereits vor der Entdeckung der Quasikristalle erfunden hatte. Wenn man einen Quasikristall geeignet schneidet, zeigt die Schnittfläche genau das Muster der Penrose-Parkettierung.

2007 wurde zudem von solchen Parkettierungen bei Ornamenten an Gebäuden im islamischen Kulturkreis berichtet, die damit möglicherweise bereits seit 500 Jahren über Kenntnisse zur Darstellung dieser besonderen Symmetrie verfügen.

Geometrische Interpretation

Man kann ein periodisches Muster um einen bestimmten Abstand so verschieben, dass jedes verschobene Atom genau die Stelle eines entsprechenden Atoms im Originalmuster einnimmt.

In einem quasiperiodischen Muster ist so eine Verschiebung nicht möglich, egal, welchen Abstand man wählt. Allerdings kann man jeden beliebigen Ausschnitt, egal welche Größe er hat, so verschieben, dass er deckungsgleich mit einem entsprechenden Ausschnitt ist.

Es gibt eine merkwürdige Beziehung zwischen periodischen und nichtperiodischen Mustern. Jedes quasiperiodische Muster aus Punkten kann aus einem periodischen Muster einer höheren Dimension geformt werden.

Um zum Beispiel einen dreidimensionalen Quasikristall zu erzeugen, kann man mit einer periodischen Anordnung von Punkten in einem sechsdimensionalen Raum beginnen. Der dreidimensionale Raum sei ein linearer Unterraum, der den sechsdimensionalen Raum in einem bestimmten Winkel durchdringt. Wenn man jeden Punkt des sechsdimensionalen Raumes, der sich innerhalb eines bestimmten Abstandes zum dreidimensionalen Unterraum befindet, auf den Unterraum projiziert und der Winkel eine irrationale Zahl darstellt, wie zum Beispiel der Goldene Schnitt, dann entsteht ein quasiperiodisches Muster.

Jedes quasiperiodische Muster kann auf diese Weise erzeugt werden. Jedes Muster, das man auf diese Weise erhält, ist entweder periodisch oder quasiperiodisch.

Dieser geometrische Ansatz ist nützlich, um physikalische Quasikristalle zu analysieren.

In einem Kristall sind Kristallfehler Stellen, an denen das periodische Muster gestört ist. In einem Quasikristall sind das Stellen, wo der dreidimensionale Unterraum gebogen, gefaltet oder gebrochen ist, wenn er den höherdimensionalen Raum durchdringt.