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Volumenarbeit

Die Volumenarbeit oder auch Volumenänderungsarbeit ist die an einem geschlossenen System zu leistende Arbeit (in der Abbildung rechts ist dies die Arbeit, die der Kolben an dem im Zylinder enthaltenen Gas verrichtet), um das Volumen $V 1$ auf das Volumen $V 2$ zu komprimieren ( $V 1 > V 2$ ) oder durch Expansion ( $V 1 < V 2$ ) zu vergrößern. Im ersten Fall muss dabei Arbeit geleistet werden, im zweiten Fall wird Arbeit, d. h. Energie, frei. $W_\mathrm{1,2} = - \int\limits_{s} F(s) \mathrm{d}s$ .

Hierbei ist $F (s)$ die Kraft, die längs eines Weges $s$ wirkt. Das Minuszeichen ist Konvention. So erreicht man, dass zugeführte Arbeit positiv ist ( $d s < 0$ ), freiwerdende Energie dagegen ein negatives Vorzeichen erhält.

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Vorgang ohne Reibung

Bei der reversibel, d. h. reibungsfrei und quasistatisch zugeführten Arbeit ist in dem dargestellten Zylinder mit dem Querschnitt A wegen

$F = p \cdot A$ und $dV=A \cdot ds$

$W_\mathrm{1,2} = - \int\limits_{V_1}^{V_2} pdV$ .

Die Zustandsänderung verläuft vom Punkt 1 zum Punkt 2. Der Integralwert, der der Fläche unter dem Zustandsverlauf im p-V-Diagramm entspricht, lässt sich berechnen, wenn die Funktion $p = f (V)$ bekannt ist (s. u.).

Reibungsbehafteter Vorgang

Nimmt man den realen Fall, dass zwischen dem Kolben und dem Zylinder eine Reibungskraft wirkt, so muss beim Komprimieren zusätzlich zur Volumenänderungsarbeit die Reibungsarbeit aufgebracht werden. Diese erhöht, wenn sie nicht durch Kühlung als Wärme nach außen abgeführt wird, die innere Energie des Systems und damit den Druck gegenüber dem reibungsfreien Vorgang. Die Zustandsänderung verläuft vom Punkt 1 zum Punkt 2´. Das heißt also, dass auch die Volumenänderungsarbeit, die der Fläche unter dem Verlauf im p-V-Diagramm entspricht, größer wird, ohne dass darin die Reibungsarbeit selbst enthalten ist. Die von außen aufzubringende Arbeit ist also die Summe aus der nunmehr größeren Volumenänderungsarbeit und der Reibungsarbeit.

Einfaches Beispiel zur Berechnung

Es sei eine isotherme Verdichtung eines idealen Gases angenommen. Es gilt die Zustandsgleichung

$p = {{m R T} \over{V}}$

wobei m die Masse ist, R die spezifische Gaskonstante und T die absolute Temperatur. Ist die Temperatur konstant (isotherme Zustandsänderung), lässt sich durch Einsetzen dieser Gleichung das Integral lösen und man erhält:

$W_\mathrm{1,2} = - m R T \ln \frac {V_2} {V_1}$

Statt $m \cdot R$ kann man auch $n \cdot R_\mathrm{mol}$

einsetzen, wobei n die Molmenge ist und $R mol$ die molare oder allgemeine Gaskonstante.

Anhand dieser Gleichung sieht man nun auch, dass bei der Expansion eines idealen Gases die Volumenarbeit negativ ist, also Energie frei wird und im umgekehrten Fall Arbeit geleistet werden muss. Dies folgt aus dem Logarithmus, der für Zahlen kleiner 1 negativ und für Zahlen größer eins positiv ist.

Literatur

Literatur zur Technischen Thermodynamik

Siehe auch

Kategorie: Thermodynamik

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