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A new interpretation of Legendre's transformation and consequencesEine neue Interpretation der Legendre‐Transformation und Folgerungen

Abstract

The Legendre transformation has found widespread application in thermodynamics, Hamilton‐Lagrange‐mechanics and optics. It attributes the values of the coordinates (x, y (x)) representing the points of a monotonic piecewise smooth functional curve y (x) the slopes mx (x) = dy (x)/dx and the intercepts y (mx) of their tangents on the y‐axis. Thus, the initial curve y (x) is represented by the ordered set of all slopes mx (x) = dy (x)/dx of its tangents together with their intercepts y (mx) on the y‐axis. It is shown that the transformed or conjugated function must basically be supplemented by a homogeneous linear function of the relevant variable. This is usually neglected in the literature. In addition, a new interpretation of the Legendre transformation is presented and discussed: For this purpose the derivative mx (x) is considered as the proper initial function and integrated between x0 and x. This integral is complemented by the integral of x (mx) ((the inverse function of mx (x)) over mx between mx0 = mx (x0) and mx (x), if mx (x) and x (mx) are strictly monotonic. The sum of both integrals yields the “area” (xmx – x0mx0). Legendre's transformation is obtained by reordering the respective terms. The procedure of transformation corresponds to integration by parts. Some examples and consequences of the properties considered are demonstrated and discussed using the simple model of two‐state systems. The general results of the present work remove possible internal inconsistencies in thermodynamics.

Die Legendre Transformation wird in der Thermodynamik, der Hamilton‐Lagrange‐Mechanik und in der Optik häufig angewendet. Dabei werden den Werten der Koordinaten (x, y (x)), die die Punkte einer monotonen stückweise glatten Kurve y (x) darstellen, die Steigungen mx (x) = dy (x)/dx und die Abschnitte der Tangenten y (mx) auf der y‐Achse zugeordnet. Somit wird die ursprüngliche Kurve durch die geordnete Menge der Steigungen mx (x) = dy (x)/dx zusammen mit den Abschnitten all ihrer Tangenten y (mx) auf der y‐Achse dargestellt. Es wird gezeigt, dass die transformierte oder konjugierte Kurve grundsätzlich durch eine homogene lineare Funktion der jeweiligen Variablen ergänzt werden muss, was in der Literatur gewöhnlich vernachlässigt wird. Zusätzlich wird eine neue Interpretation der Legendre‐Transformation vorgestellt und diskutiert. Hierzu wird die Ableitung mx (x) als die eigentliche Ausgangsfunktion betrachtet und zwischen den Werten x0 und x integriert. Dieses Integral wird durch das Integral von x (mx) (die inverse Funktion von mx (x)) über mx zwischen mx0 = mx (x0) und mx = mx (x) ergänzt, wobei vorausgesetzt ist, dass mx (x) und x (mx) streng monoton sind. Die Summe beider Integrale ergibt die “Fläche” (xmx – x0mx0). Die Legendre‐Transformierte erhält man durch Umordnung der Terme. Die Prozedur der Transformation entspricht einer partiellen Integration. Es werden einige Beispiele und Folgerungen aus den betrachteten Eigenschaften an Hand eines einfachen Zwei‐Zustände‐Modells gezeigt und diskutiert. Die generellen Ergebnisse dieser Arbeit beseitigen mögliche innere Widersprüche in der Thermodynamik.

Autoren:   H.‐J. Hoffmann
Journal:   Materialwissenschaft und Werkstofftechnik
Band:   43
Ausgabe:   8
Jahrgang:   2012
Seiten:   687
DOI:   10.1002/mawe.201200937
Erscheinungsdatum:   22.08.2012
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