Tröpfchenmodell

Das Tröpfchenmodell beschreibt einen Atomkern in Analogie zu einem Flüssigkeitstropfen. Die Grundidee wurde von George Gamow entwickelt. 1935 stellte Carl Friedrich von Weizsäcker seine Massenformel für Atomkerne vor. Das Tröpfchenmodell wurde 1936 von Niels Bohr weiterentwickelt (Compoundkernhypothese als Kernreaktionsmechanismus) und von Bohr und John Archibald Wheeler 1939 zur Erklärung der Kernspaltung angewandt. Namhafte Physiker wie Hans Bethe und Enrico Fermi leisteten ebenfalls einen Beitrag.

Die Grundannahme dabei ist, dass die Massendichte im Atomkern weitgehend konstant ist und im Außenbereich abfällt und dass neben der Coulomb-Abstoßung zwischen den Protonen eine kurzreichweitige, von der Ladung unabhängige, Anziehung existiert.

Das Tröpfchenmodell kann die durchschnittliche Bindungsenergie pro Nukleon gut vorhersagen und wird durch empirische Daten untermauert. (Siehe dazu auch Bethe-Weizsäcker-Formel).

Die Bindungsenergie des Kerns wird dabei durch Volumenenergie, Oberflächenenergie, Coulombenergie, Symmetrie und Parität beschrieben, die im Einzelnen wie folgt berechnet werden:

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Volumenenergie

Wegen der konstant angenommenen Dichte ist das Volumen proportional zur Massenzahl (Nukleonenzahl) A. Die Volumenenergie wird daher zu

c₁ · A

angenommen, mit einer Konstante c₁ = 14 MeV.

Oberflächenenergie

Die Bindung der an der Kernoberfläche befindlichen Nukleonen ist geringer als die der im Innern befindlichen, da sie weniger Nachbarn besitzen. Es wird daher ein destabilisierender Term angenommen, der proportional zur Oberfläche des Kerns ist. Eine Kugeloberfläche ist proportional zur Potenz 2/3 des Kugelvolumens (wegen V ~ r³ und O ~ r²), daher wird die Oberflächenenergie zu

− c₂ · A^2/3

angenommen, mit c₂ = 13 MeV. Das Minuszeichen steht für den destabilisierenden Einfluss.

Coulombenergie

Ein weiterer destabilisierender Einfluss ist die coulombsche Abstoßung der gleichnamig positiv geladenen Protonen. Diese Energie ist nach dem coulombschen Gesetz proportional zum Quadrat der elektrischen Ladung (Ladungszahl Z) und umgekehrt proportional zum Radius. Letzterer wiederum ist proportional zur Potenz 1/3 des Volumens (und damit der Masse). Für die Coulombenergie wird somit

− c₃ · Z²/A^1/3

angenommen, mit c₃ = 0,6 MeV.

Symmetrieenergie

Ein Ungleichgewicht zwischen der Protonenzahl Z und der Neutronenzahl N = A−Z wirkt destabilisierend auf einen Kern; es wird daher ein Term proportional zu N−Z = A−2Z angesetzt. Da das Vorzeichen dieser Differenz keinen Einfluss haben soll, wird sie quadriert und dann, zur Kompensation des Quadrats, wieder durch A dividiert. Dies ergibt einen Term

− c₄ · (A − 2 Z)² / A

für die Symmetrieenergie, mit c₄ = 19 MeV.

Paritätsenergie

Die bisherigen Terme werden durch einen weiteren Term ergänzt, der auf der Beobachtung beruht, dass Kerne mit geraden Nukleonenzahlen stabiler sind als solche mit ungeraden (was erst im Schalenmodell des Atomkerns eine Erklärung findet durch Paarbildung von Nukleonen unterschiedlichen Spins). Kerne mit gerader Protonenzahl Z und Neutronenzahl N (gg-Kerne) sind besonders fest gebunden, solche mit ungeradem Z und N (uu-Kerne) besonders schwach gebunden, die restlichen Kerne (ug-Kerne) liegen dazwischen; gg-Kerne stellen die meisten stabilen Nuklide, während von den uu-Kernen nur die vier leichtesten, H-2, Li-6, B-10 und N-14, stabil sind. Der Einfluss des Effektes nimmt mit steigender Nukleonenzahl ab. Man berücksichtigt somit einen Term

c₅ · δ / A^1/2,

worin δ = −1 für uu-Kerne, δ = 0 für ug-Kerne und δ = +1 für gg-Kerne gesetzt wird, um den destabilisierenden bzw. stabilisiernden Einfluss der unterschiedlichen Parität zu beschreiben; mit c₅ = 33,5 MeV.

Gesamtbindungsenergie

Die Gesamtbindungsenergie eines Kerns (nach Carl Friedrich von Weizsäcker) wird damit:

W = c₁ · A − c₂ · A^2/3 − c₃ · Z²/A^1/3 − c₄ · (A − 2 Z)² / A + c₅ · δ / A^1/2.

Die Bindungsenergie pro Nukleon ergibt sich hieraus durch Division durch die Nukleonenzahl A.

Die fünf Konstanten c₁ bis c₅ lassen sich durch Messung der Bindungsenergien von fünf Kernen gewinnen, woraus sich ein Gleichungssystem mit fünf verschiedenen Gleichungen und fünf Unbekannten ergibt. Je nach Auswahl dieser fünf Kalibrierungskerne ergeben sich für die Konstanten etwas unterschiedliche Werte. Durch Verwendung der Bindungsenergien von mehr als fünf Kernen ergibt sich ein Ausgleichsproblem, womit die Konstanten genauer bestimmbar sind.