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Partikelgrößenverteilung



Der Begriff der Partikelgrößenverteilung ist der Statistik entlehnt. Dort werden Häufigkeiten und Häufigkeitsverteilungen eines beliebigen Merkmals, z.B. Würfelaugen, Fertigungstoleranzen etc., betrachtet. Im Bereich der Partikelmesstechnik bzw. der Dispersitätsanalyse wird als Merkmal der Äquivalentdurchmesser eines Partikels gewählt. Aus der allgemeinen Häufigkeitsverteilung der Statistik wird somit die Partikelgrößenverteilung. Diese wird häufig auch als Korngrößenverteilung bezeichnet.

Inhaltsverzeichnis

Definitionen

Die Partikel einer dispersen Phase, d.h. Körner, Tropfen oder Blasen, werden mit Hilfe eines zu messenden Äquivalentdurchmessers unterschieden und geordnet. Zur Darstellung einer Partikelgrößenverteilung werden die Mengenanteile bestimmt, mit denen die jeweiligen Partikelklassen an der dispersen Phase beteiligt sind.

Es werden unterschiedliche Mengenarten verwendet. Werden die Partikel gezählt, so ist die Mengenart die Anzahl. Bei Wägungen hingegen ist es die Masse bzw. bei homogener Dichte ρ das Volumen. Weitere leiten sich aus Längen, Projektions- und Oberflächen her. Man unterscheidet:

Mengenart Index r
Anzahl 0
Länge 1
Fläche 2
Volumen (Masse) 3

Zur graphischen Darstellung wird ein normiertes Mengenmaß verwendet. Die Normierung ist erforderlich, um die Abhängigkeit der Mengenanteile von der verwendeten Gesamtmenge zu eliminieren. Auf diese Art ist beispielsweise das Ergebnis einer ersten Wägung von 100 g Gesamtmasse mit dem Ergebnis einer Wägung von 1 kg Gesamtmasse vergleichbar.

Es werden zwei Mengenmaße unterschieden:

  • Summenverteilung Qr
  • Dichteverteilung qr

Die Bezeichnungen Q bzw. q sind die Formelzeichen des Begriffs Quantil. Der Index r bezeichnet die Mengart gemäß obiger Tabelle.

Generell werden bei der graphischen Darstellung einer Partikelgrößenverteilung der Äquivalentdurchmesser x auf der Abszisse und das Mengenmaß Q bzw. q auf der Ordinate aufgetragen.

Summenverteilungskurve

Die Summenverteilungskurve Qr(x) gibt die normierte Menge aller Partikel mit einem Äquivalentdurchmesser kleiner gleich x an. Im folgenden werden Summenverteilungen der beiden gebräuchlichsten Mengenarten explizit definiert:

  • Partikelzahl (r=0)
Sei Ni die Zahl aller untersuchten Partikel mit einem Durchmesser x kleiner oder gleich dem betrachteten Durchmesser xi sowie N die Gesamtzahl aller untersuchten Partikel. Dann ist
Q0(xi)=Ni/N
  • Partikelmasse (r=3)
Sei mi die Masse aller untersuchten Partikel mit einem Durchmesser x kleiner oder gleich dem betrachteten Durchmesser xi sowie m die Gesamtmasse aller untersuchten Partikel. Dann ist
Q3(xi)=mi/m

Für die anderen Mengenarten geht man analog vor.

Beispiel

Eine Wägung ergibt, dass 20g einer Probe der Gesamtmasse 100g durch ein Sieb mit einer Maschenweite von 1 mm gefallen und damit kleiner als 1 mm sind. Daher ist Q3(1 mm) = 20g/100g = 0,2.

Aufgrund der Normierung, d.h. der jeweiligen Division durch die Gesamtmenge, gilt

  • Qr(x = 0) = Qr(x = xmin) = 0
  • Qr(x = \infty) = Qr(x = xmax) = 1

Das Mengenmaß Qr ist stets dimensionslos.

Das folgende Diagramm zeigt eine typische Summenverteilungskurve mit den minimalen und maximalen Äquivalentdurchmessern xmin bzw. xmax:


Lineare Dichteverteilungskurve

Bildet man die Differenz zwischen den Mengenanteilen Qr der Äquivalentdurchmesser xu (untere Grenze) und xo(obere Grenze), so gilt ΔQr(xu,xo) = Qr(xo) - Qr(xu). Die diskrete Dichteverteilung qr(x) ist dann definiert als

q_{\rm r}(x_{\rm u},x_{\rm o}) = \frac{\Delta Q_{\rm r}(x_{\rm u},x_{\rm o})}{\Delta x}

mit Δx = xo - xu. Im Falle einer differenzierbaren Summenverteilung Qr(x) ist die Dichteverteilung die 1.Ableitung von Qr(x):

q_{\rm r}(x)=\frac{dQ_{\rm r}(x)}{dx}

Die lineare Dichteverteilung qr(x) hat - vorausgesetzt x ist ein Äquivalentdurchmesser - die Dimension m-1. Das folgende Diagramm zeigt eine typische Dichteverteilungskurve:


Die markierte Fläche ist der im Intervall Δx=xo - xu enthaltene Mengenanteil ΔQr der Partikel, deren Größe bzw. Äquivalentdurchmesser x zwischen xu und xo liegt. Aufgrund der Normierung der Summenverteilung Qr muss die Fläche unterhalb der Dichteverteilungskurve immer gleich 1 sein:

\int_{x_{\rm min}}^{x_{\rm max}} q_{\rm r}(x)\;dx=Q_{\rm r}(x_{\rm max})-Q(x_{\rm min}) = 1

In der Praxis wird man es hingegen in der Regel mit diskreten Werten, das heißt einzelnen Werten, der Dichteverteilung zu tun haben. Die Dichteverteilung als Funktion ist nicht explizit bekannt. Es werden dann mehrere Möglichkeiten der Auftragung verwendet:

Histogramm

Die Dichteverteilung wird im Intervall Δx als konstant angenommen. Als Konsequenz ergibt sich ein Rechteck der Fläche ΔQr = qr(xu,xo)Δx.

Polygonzug

Der Wert der Dichteverteilung qr für das Intervall (xu,xo) wird am Ort der arithmetischen Klassenmitte aufgetragen, d.h. bei xm,a = (xo + xu)/2. Die sich ergebenden Datenpunkte werden als Näherung linear verbunden.

Spline-Interpolation

Wie beim Polygonzug wird der Wert der Dichteverteilung am Ort der arithmetischen Klassenmitte aufgetragen. Die Wert werden anschließend durch eine polynomiale Näherungsfunktion (Spline) verbunden. Dabei ist zu beachten, dass die auf diese Weise interpolierten Werte mathematischen und nicht physikalischen Ursprungs sind.

Die Dichteverteilung qr(x) zeigt sehr häufig die Form einer Gaußschen Glocke. Weist die Verteilung lediglich ein Maximum auf, so spricht man von einer monomodalen Verteilung. Bei zwei Maxima ist die Verteilung bimodal. Der Abszissenwert des größten Maximums wird als Modalwert bezeichnet.

Logarithmische Dichteverteilung

Die Darstellung einer linearen Dichteverteilung qr ist unpraktisch, wenn sich der Bereich der vorliegenden Äquivalentdurchmesser über mehr als eine Dekade erstreckt. Man spricht in diesem Zusammenhang ganz anschaulich von einer breiten Verteilung. Für diese Fälle ist es angebracht, eine logarithmisch geteilte Abszisse zu verwenden, da der Überblick dann wesentlich leichter fällt. Die logarithmische Dichteverteilung wird mit qr* oder qr,log gekennzeichnet. Der Wert der Dichteverteilung qr* für das Intervall (xu,xo) wird am Ort der geometrischen Klassenmitte aufgetragen, d.h. bei xm,g = (xo * xu)0.5.

In der Praxis hat sich die logarithmische Auftragung gegenüber der linearen Auftragung oftmals als vorteilhaft herausgestellt. Das folgende Diagramm zeigt eine logarithmische Auftragung einer engen Verteilung.


Mathematisch betrachtet handelt sich bei der logarithmischen Auftragung um eine Substitution der Abszisse. Es gilt ganz allgemein:

q_{\rm r}^*(s) = q_{\rm r}(x)\cdot\frac{dx}{ds}

und mit s = lg x = ln x/2,3026 erhält man für die Umrechnung

q_r^*({\rm lg}\,x) = 2,3026\cdot x \cdot q_{\rm r}(x)

Es muss betont werden, dass die logarithmische Substitution der Abszisse zu einer Änderung des Kurvenverlaufs führt, d.h. unter anderem, dass sich der Modalwert verschiebt. Die Normierungsbedingung bleibt dagegen stets erfüllt.

 
Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Partikelgrößenverteilung aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation. In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.
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