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No-Cloning-Theorem

No-Cloning-Theorem

Das No-Cloning-Theorem ist ein bedeutsames Resultat der Quantenphysik. Es besagt, dass es nicht möglich ist, ein System zu bauen, das jedes beliebige Qubit perfekt auf ein anderes Qubit kopiert, ohne dabei das ursprüngliche zu verändern.

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Das No-Cloning-Theorem hat weitreichende Folgen für die Quanteninformatik. Zum Einen können klassische Fehlerkorrekturcodes, die darauf beruhen, die zu übertragende Information zu kopieren, nicht angewandt werden. Zum Anderen kann jedoch auch niemand eine entsprechende Informationsübertragung unbemerkt abhören. Letztere Eigenschaft bildet die Grundlage der Quantenkryptografie.

Auslöser der Entdeckung des No-Cloning-Theorems war eine Arbeit von N. Herbert, in der er eine theoretische Möglichkeit aufgezeigt hatte, durch das Kopieren von Qubits eine überlichtschnelle Informationsübertragung durchzuführen. Erst William Wootters und Wojciech Zurek veröffentlichten 1982 das No-Cloning-Theorem und zeigten damit, dass auf diese Art und Weise keine überlichtschnelle Informationsübertragung möglich ist.^[1]

Beweis

Zum Beweis des No-Cloning-Theorems wird angenommen, dass ein quantenmechanisches Verfahren existiert, das beliebige Qubits perfekt kopieren kann. Diese Annahme wird anschließend zum Widerspruch geführt.^[2]

Es seien $|\psi \rangle$ und $|\phi \rangle$ zwei beliebige Zustände, die auf den davon unabhängigen Zustand $|k \rangle$ kopiert werden sollen. Wie jedes quantenmechanische Verfahren kann auch das dazu notwendige Verfahren durch eine unitäre Matrix $U$ beschrieben werden. Diese muss folgende Eigenschaft besitzen:

$U(|\phi \rangle \otimes |k \rangle) = |\phi \rangle \otimes |\phi \rangle$

$U(|\psi \rangle \otimes |k \rangle) = |\psi \rangle \otimes |\psi \rangle$

Für das Skalarprodukt

$\langle U(\phi \otimes k) | U(\psi \otimes k) \rangle$

lassen sich zwei Gleichungen angeben:

$\langle U(\phi \otimes k) | U(\psi \otimes k) \rangle = \langle \phi \otimes \phi | \psi \otimes \psi \rangle$ (Einsetzen der obigen Gleichungen)

$\langle U(\phi \otimes k) | U(\psi \otimes k) \rangle = \langle \phi \otimes k | \psi \otimes k \rangle$ (Unitäre Abbildungen verändern das Skalarprodukt nicht)

Setzt man diese beiden Gleichungen gleich, so erhält man

$\langle \phi \otimes \phi | \psi \otimes \psi \rangle = \langle \phi \otimes k | \psi \otimes k \rangle$

$\langle \phi | \psi \rangle \langle \phi | \psi \rangle = \langle \phi | \psi \rangle \underbrace {\langle k | k \rangle}_{=1}\,$ (Verträglichkeit von Skalarprodukt und Tensorprodukt)

$\langle \phi | \psi \rangle^2 = \langle \phi | \psi \rangle$

Diese Gleichung hat nur die Lösungen $\langle \psi | \phi \rangle = 0$ und $\langle \psi | \phi \rangle = 1$ . Das bedeutet, dass entweder $ψ = φ$ ist oder $ψ$ und $φ$ orthogonal sind. Damit kann ein quantenmechanisches Verfahren nur zwei verschiedene Zustände kopieren, die orthogonal sind. Das Kopieren beliebiger Zustände ist nicht möglich.

Quellen

↑ Dagmar Bruß: Quanteninformation. Fischer Taschenbuch Verlag, Frankfurt am Main 2003, ISBN 3-596-15563-0, S. 35–40
↑ Matthias Homeister: Quantum Computing verstehen. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-528-05921-4, S. 81–84

Kategorie: Quanteninformatik

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