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Quanten-Fouriertransformation



Die Quanten-Fouriertransformation ist ein Algorithmus aus dem Gebiet der Quanteninformatik. Sie ist eine Zerlegung der diskreten Fouriertransformation in ein Produkt unitärer Matrizen. Dadurch kann sie als Quantenschaltkreis aus Hadamard-Gattern und Phasengattern implementiert werden.

Die Quanten-Fouriertransformation ist ein wesentlicher Bestandteil eines der prominentesten Quantenalgorithmen, dem Shor-Algorithmus.

Quantenschaltkreis

Am einfachsten wird die Struktur der Quanten-Fouriertransformation anhand des entsprechenden Quantenschaltkreises sichtbar. Das folgende Bild zeigt den Quantenschaltkreis für ein, aus drei Qubit bestehendes Quantenregister.


Daran kann man leicht erkennen wie die Schaltkreise für größere Quantenregister aussehen. Die mit H beschrifteten Quantengatter stellen Hadamard-Gatter dar, während die mit Rm beschrifteten Gatter gesteuerte Phasengatter repräsentieren.

Die einzelnen Gatter werden jeweils durch folgende unitäre Matrizen beschrieben.

H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \quad  R_i = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \zeta_m \end{pmatrix}

Dabei bezeichnet ζm die m-te Einheitswurzel e^{\frac{2 \pi i}{m}}.

Die Quanten-Fouriertransformation benötigt insgesamt

\frac{n(n-1)}{2} = O(n^2)

Gatter.

Mathematische Beschreibung

In der Quanteninformatik werden Algorithmen durch ihre Wirkung auf ein Quantenregister beschrieben. Die Quanten-Fouriertransformation arbeitet auf einem Quantenregister mit n Qubits, wobei dessen N = 2n Basiszustände unter Verwendung der Bra-Ket-Notation folgendermaßen notiert werden:

| 0 \rangle , | 1 \rangle , \ldots, | N - 1 \rangle

Als diskrete Fouriertransformation bildet auch die Quanten-Fouriertransformation jeden Basiszustand | x \rangle auf eine Überlagerung aller Basiszustände ab:

\operatorname{QFT}_N | x \rangle = \frac{1}{\sqrt N} \sum_{j=0}^{N - 1} \zeta_N^{x \cdot j} | j \rangle

Als Quanten-Fouriertransformation bezeichnet man die folgende Faktorisierung der obigen Gleichung:

\operatorname{QFT}_N | x \rangle = \frac{1}{\sqrt N} \cdot \left( | 0 \rangle + \zeta_2^x | 1 \rangle \right) \cdot \left( | 0 \rangle + \zeta_4^x | 1 \rangle \right) \cdot \left( | 0 \rangle + \zeta_8^x | 1 \rangle \right) \cdot \ldots \cdot \left( | 0 \rangle + \zeta_N^x | 1 \rangle \right)

Eigenschaften

Wendet man die Quanten-Fouriertransformation auf den Zustand | 0 \rangle an, so erzeugt sie genauso wie die Hadamard-Transformation eine gleichgewichtete Superposition der Basiszustände:

\operatorname{QFT}_N | 0 \rangle = \operatorname{H}_N | 0 \rangle = \frac{1}{\sqrt N} \sum_{x=0}^{N - 1} | x \rangle

Des Weiteren besitzt die Quanten-Fouriertransformation natürlich auch alle Eigenschaften der diskreten Fouriertransformation.

 
Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Quanten-Fouriertransformation aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation. In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.
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