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Rydberg-Konstante



Die Rydberg-Konstante R ist eine nach Johannes Rydberg benannte, in der Quantenmechanik verwendete Naturkonstante. Ihr derzeit allgemein empfohlener Wert beträgt nach CODATA 2006[1][2]

R = 10 973 731,568 527 (73) m-1

Weiteres empfehlenswertes Fachwissen

Sie kann demnach auf eine relative Standardabweichung von 0,0066 × 10-9 genau angegeben werden und ist damit die am genauesten messbare Naturkonstante überhaupt. Sie ergibt sich aus der Feinstrukturkonstante α und der Compton-Wellenlänge eines Elektrons, λC,e nach

R_\infty = \frac{\alpha^2}{2 \lambda_{C,e}}

Die Wellenlängen der Spektrallinien von Atomen können anhand der Formel

\frac{1}{\lambda} = Z^2 \frac{R_{\infty}}{1+ \frac{m_e}{M}} \left( \frac{1}{n_2^2} - \frac{1}{n_1^2} \right) = R_M \left( \frac{1}{n_2^2} - \frac{1}{n_1^2} \right)

bestimmt werden. Dabei ist Z die Anzahl der Protonen im Kern (für Wasserstoff ist Z=1) und λ die Wellenlänge des vom Elektron emittierten Photons. Weiter bezeichnet n1 die Quantenzahl des Orbits, von dem aus das Elektron in den tiefergelegenen Orbit n2 übergeht - also etwa vom dritten Orbit n1=3 in den zweiten n2=2.

Häufig werden auch Rydberg Frequenz R und die Rydberg Energie Ry als Rydberg-Konstante angegeben. Diese betragen

  • Rydberg Frequenz: R = c R_\infty  = 3{,}289\;841\;960\;\left(22\right) \cdot 10^{15} \ \mathrm{Hz}
  • Rydberg Energie: R_y=h R = h c R_\infty = 13{,}605\;692\;3\left(12\right) \ \mathrm{eV} = 1Ry

Letzteres ist gerade die Ionisierungsenergie des Wasserstoffs und wird ein Rydberg der Energie genannt.

Die Wellenlänge ist nicht nur von der Rydberg-Konstante und der Kernladung, sondern auch von der Kernmasse M abhängig. Für jedes Isotop eines Elements kann die Wellenlänge aus

R_M = Z^2 \, \frac{R_{\infty}}{1+ \frac{m_e}{M}}

für (Z-1)-fach geladene Kerne mit einem Elektron nach einer analogen Formel berechnet werden.


Herleitung

Die Rydberg-Konstante lässt sich über die Bohrsche Bedingung, die Zentrifugalkraft, die Coulombkraft, und die elektrische potenzielle Energie eines Elektrons im Orbit um ein Proton berechnen.

  • Die Bohrsche Bedingung ist
    2 \pi r = n \lambda \
    wobei r der Radius des Elektronenorbits bezeichnet.
  • Für die Zentrifugalkraft gilt
    F_{C}= \frac{m v^2}{r}
  • Coulombkraft zwischen Proton und Elektron
    F_{E}= \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r^2 }
  • Die potenzielle Energie im Abstand r zum Proton beträgt
    V = \int_\infty^r  F_{E} \, \mathbf{dr} = - \frac {e^2}{ 4 \pi \epsilon_0 r}

Mit der Beziehung von de Broglie \lambda  = \frac{h}{p} =\frac{h}{mv} \ erhalten wir aus der Bohrschen Bedingung

v = \frac {n h}{2 \pi r m} \ (1)

Für eine stabile Bahn gilt klassisch

F_{C} = F_{E} \
\frac{m v^2}{r} = \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r^2 } \ (2)

Nach Einsetzen von (1) in diese Beziehung ergibt sich für den Radius

r = \frac{n^2 h^2 \epsilon_0 }{ \pi m e^2} \ (3)

Unter den gemachten Annahmen sind dies also einzigen erlaubten Radien für ein sich um ein Proton bewegendes Elektron.

Außerdem folgt aus (2) für die Geschwindigkeit

v^2 = \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 m r } \ (4)

Wenn wir mit (3) und (4) die Gesamtenergie berechnen, finden wir

E = T + V =\frac{1}{2}mv^2 - \frac {e^2}{ 4 \pi \epsilon_0 r}=\frac{e^2}{8 \pi\epsilon_0 r}- \frac {e^2}{ 4 \pi \epsilon_0 r}=-\frac{e^2}{8 \pi\epsilon_0 r}=-\frac{m e^4}{8 \epsilon_0^2 h^2}\cdot \frac{1}{n^2} \

Jeder Orbit besitzt demnach eine bestimmte potenzielle und kinetische Energie, sodass bei einer Änderung des Orbits von n1 nach n2 auch eine Energieänderung stattfindet. Diese Änderung ist gerade

\Delta E = \frac{ m e^4}{8 \epsilon_0^2 h^2} \left( \frac{1}{n_2^2} - \frac{1}{n_1^2} \right) \

Oder mit

\Delta{E} = \frac{hc}{\lambda}

als Wellenlängenänderung geschrieben

\frac{1}{ \lambda} = \frac{ m e^4}{8 \epsilon_0^2 h^3 c} \left( \frac{1}{n_2^2} - \frac{1}{n_1^2} \right) \.

Da hier ein e2 die Ladung des Kerns repräsentiert, muss für allgemeine Atome die Kernladungszahl Z hinzugefügt werden. Damit gilt

\frac{1}{\lambda} = \frac{Z^2 m e^4}{8 \epsilon_0^2 h^3 c} \left( \frac{1}{n_2^2} - \frac{1}{n_1^2} \right) \.

Die Rydberg-Konstante von Wasserstoff ist daher gerade

R = \frac{ m e^4}{8 \epsilon_0^2 h^3 c}.

Dieses Ergebnis wurde erstmals von Niels Bohr als Folgerung seines Atommodells bestimmt.

Für den genauen Wert von R bzw. der Energieniveaus des Wasserstoffs muss die Mitbewegung des Kerns berücksichtigt werden, weshalb die Elektronenmasse durch die reduzierte Masse µ ersetzt wird.

R = \frac{\mu e^4}{8 \epsilon_0^2 h^3 c}, mit \mu = \frac{m M}{m + M} = \frac{m}{1 + \frac{m}{M}}

Quellen

  1. CODATA Internationally recommended values of the Fundamental Physical Constants 2006
  2. http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?ryd

Siehe auch

Physikalische Konstanten

 
Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Rydberg-Konstante aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation. In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.
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