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Potentialtopf



Ein Potentialtopf ist die Region um ein lokales Minimum potentieller Energie. Energie in einem System, das in einem Potentialtopf gefangen ist, kann sich nicht in eine andere Energieform umwandeln, beispielsweise kinetische Energie im Fall eines Gravitations-Potentialtopfes.

Energie kann aus einem Potentialtopf entnommen werden, wenn dem System hinreichend Energie zugeführt wird, so dass das lokale Minimum überwunden werden kann. In der Quantenphysik kann Energie aus einem Potentialtopf entweichen, ohne dass Energie hinzugeführt werden muss. Ein Elementarteilchen kann durch den Tunneleffekt die Wände eines Potentialtopfes durchtunneln.

Der Graph einer zweidimensionalen Funktion potentieller Energie ist eine Oberfläche, die man sich wie die Erdoberfläche als eine Landschaft aus Hügeln und Tälern vorstellen kann. Ein Potentialtopf wäre ein Tal, das auf allen Seiten von höherem Terrain umgeben ist und das daher mit Wasser gefüllt werden könnte, ohne dass Wasser zu einem anderen, niedrigeren Minimum ablaufen würde.

Ein Potentialberg ist das Gegenteil eines Potentialtopfes, es ist die Region um ein lokales Maximum.

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Inhaltsverzeichnis

Mathematisch

Der Umkehrpunkt ist dadurch gekennzeichnet, dass die kinetische Energie Null ist. Die gesamte Energie ist dann potentielle Energie. Im folgendem wird das H-Atom berechnet

Breite des Topfes

E = - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0R} (man sieht, dass der maximale Abstand R von der Energie abhängt)

Radius:

R = - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0E}

Tiefe des Topfes

Variable Bedeutung
E Energie
W0 Potentialtopftiefe
R Potentialtopfbreite
\varepsilon_0 elektrische Permittivität
m Elektronenmasse

Im Potentialtopf hat das Potential einen konstanten Wert W0. Der Potentialtopf approximiert das Coulomb-Potential am besten, wenn man W0 so wählt, daß es die "mittlere Tiefe" des Coulomb-Potentials darstellt. Dazu berechnet man den Mittelwert \overline {W} des Coulomb-Potentials über eine Kugel mit Radius R.

\overline{W} = {1 \over V} \int W(\vec x)d^3x

Das Volumen(Kugel) ist: V={4\pi \over 3} R^3

W(\vec x) ist: W(\vec x) = - { e^2 \over 4\pi\varepsilon_0r}

Setzt man ein: \overline{W} = - {1 \over V} \cdot {e^2 \over 4\pi\varepsilon_0} \int\limits_{0}^{R}  {1 \over r} \cdot 4 \pi r^2dr

Integral auflösen: \int\limits_{0}^{R}  r dr = {1 \over 2} R^2

\overline{W} = - {1 \over V} \cdot {e^2 \over 4\pi\varepsilon_0} \cdot {4\pi  \over V} \cdot {1 \over 2} R^2

Dann V={4\pi \over 3} R^3 einsetzen:

\overline{W} = - {1 \over V} \cdot {e^2 \over 4\pi\varepsilon_0} \cdot {4\pi  \over {4\pi \over 3} R^3} \cdot {1 \over 2} R^2

vereinfacht:

\overline{W} = - {3 \over 2} \cdot {e^2 \over 4\pi\varepsilon_0R}={3 \over 2}E

Diese Beziehung W_0=\overline{W}={3 \over 2}E legt die Tiefe des Potentialtopfs fest (Die Lage unterhalb des Potentialtopfs)

Dreidimensionaler Potentialtopf

W_0={3 \over 2}E , \quad R = - { e^2 \over 4\pi\varepsilon_0E}

zur Vereinfachung machen wir aus der Kugel einen Würfel mit der Kantenlänge 2R

E={h^2 \over 8m(2R)^2}(n_x^2+n_y^2+n_z^2)+W_0

nx = ny = nz = n

E={h^2 \over 8m(2R)^2}3n^2+W_0

Energiewert

Nun werde W0,R eingesetzt

E = {3h^2 \over 32m} n^2 \cdot {(4\pi\varepsilon_0)^2E^2 \over e^4}+{3 \over 2} E

Nach E auflösen

E = - {8 \over 3\pi^2} \cdot {me^4 \over 8h^2\varepsilon_0^2}\cdot {1 \over n^2}

Unendlicher hoher Potentialtopf

Eindimensionaler unendlich hoher Potentialtopf

\lambda_n = \frac{2a}{n} mit n = 1,2,3,...

Wellenfunktion

\Psi_n=\sin\left({2\pi \over \lambda_n}x\right)=\sin\left({n\pi \over a}x\right)

Wahrscheinlichkeitsdichte:

\mid\Psi_n\mid^2=\mathrm{sin}^2\left({n\pi \over a} x\right)

Energie Bestimmung:

W = W_\mathrm{kin} + W_\mathrm{pot} = W_\mathrm{kin} + 0 = \frac{p^2}{2m} = \frac{h^2}{2m\lambda^2}

Energieniveaus eines Elektrons im Potentialtopf:

W_n = \frac{h^2}{8ma^2} \cdot n^2 =\dfrac{\pi^2\hbar^2}{2ma^2}\cdot n^2

Dreidimensionaler unendlich hoher Potentialtopf

Wellenfunktion (nicht normiert)

\Psi_{n_x,n_y,n_z}(x,y,z)=\sin\left({n_x\pi \over a}x\right)\cdot \sin\left({n_y\pi \over a}y\right) \cdot \sin\left({n_z\pi \over a}z\right)

Energie

W = {p_x^2 + p_y^2 + p_z^2 \over 2m}={h^2 \over 8ma^2}(n_x^2+n_y^2+n_z^2)

Schrödinger-Gleichung

Schrödinger-Gleichung für ein freies Teilchen in einem Potentialtopf:

-{\hbar^2 \over 2m} {d^2 \over dx^2}\Psi(x)=E\Psi(x)

\Psi(x)=A\cdot \sin (kx)

W={\hbar^2k^2 \over 2m}= {h^2 \over 2m\lambda^2}

\lambda_n = \frac{2a}{n}

W_n = \frac{h^2}{8ma^2}\cdot n^2

Siehe auch

 
Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Potentialtopf aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation. In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.
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