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Zustandsgleichung von Mie-Grüneisen



Die Mie-Grüneisen-Zustandsgleichung (engl. Mie-Gruneisen equation of state) ist eine Zustandsgleichung der Physik, die für hochverdichtete Materie einen funktionalen Zusammenhang zwischen der Dichte und dem Druck bei adiabatischer Zustandsänderung darstellt. Sie wird zur Berechnung der Schallgeschwindigkeit und von Stoßwellen bei hohen Umgebungsdrücken und zur Modellierung von seismologischen Untersuchungen des Erdinneren verwendet. Sie stellt die Messergebnisse von Hochdruckexperimenten auf der Basis von nur zwei Materialparametern mit guter Genauigkeit dar und genießt großes Vertrauen bei der Extrapolation in Druckbereiche, die mit statischen Laborexperimenten nicht erreichbar sind.

Die Mie-Grüneisen Zustandsgleichung wird dargestellt durch:

p=p_0 \left( 1 - \Gamma \eta \right) + \frac{\rho_0 C^2_0 \eta}{\left( 1 - s \eta \right)^2} \cdot \left( 1 - \frac{\Gamma \eta}{2} \right) + \Gamma \rho_0 \left( e - e_0 \right)

mit

\eta = 1 - \frac{\rho_0}{\rho}.

Hierbei bezeichnet ρ0 die Dichte, C0 die Schallgeschwindigkeit und Γ = Γ0 den (dimensionslosen) Grüneisenkoeffizient im Normalzustand. ee0 ist die spezifische innere Energie. Die dimensionslose Materialkonstante s ist der lineare Hugoniot-Steigungskoeffizient (engl. linear Hugoniot slope coefficient).


Zusammenhang der Parameter mit anderen thermodynamischen Zustandsgrößen

Die Schallgeschwindigkeit, mit der sich kleine Druck- und Dichteschwankungen in einem Medium fortpflanzen, ist bei reversibler adiabatischer Zustandsänderung (d.h. bei konstanter Entropie S) gegeben durch:

c_S=\sqrt{\left. \frac{\partial p}{\partial \rho}\right|_S} = \sqrt{\frac{p}{\rho}\cdot \gamma}

Die Schallgeschwindigkeit ist eine Zustandsgröße.

Der Adiabatenexponent γ ergibt sich aus:

\gamma = - \frac{V}{p}\cdot \left. \frac{\partial p}{\partial V}\right|_S

Der Grüneisenkoeffizient ist definiert durch:

\Gamma = - \frac{V}{T}\cdot \left. \frac{\partial T}{\partial V} \right|_S = \frac{\beta}{\kappa \cdot \rho \cdot c_V}

wobei die Maxwell-Relation \left. \frac{\partial S}{\partial V} \right|_T = \left. \frac{\partial p}{\partial T} \right|_V und folgende Bezeichnungen verwendet wurden:

Thermische Ausdehnung:

\beta = \frac{1}{V}\cdot \left. \frac{\partial V}{\partial T} \right|_p = - \frac{1}{\rho} \cdot \left. \frac{\partial \rho}{\partial T} \right|_p

Isotherme Kompressibilität:

\kappa = - \frac{1}{V} \cdot \left. \frac{\partial V}{\partial p} \right|_T

Isochore spezifische Wärmekapazität:

c_V = \frac{T}{\rho \cdot V} \cdot \left. \frac{\partial S}{\partial T} \right|_V

Beispiele für Parameter der Mie-Grüneisen Zustandsgleichung

Wasser: ρ0 = 1000 kg/m3 ; C0 = 1489 m/s ; s = 1,79 ; Γ = 1,65

Stahl: ρ0 = 7850 kg/m3 ; C0 = 4500 m/s ; s = 1,49 ; Γ = 2,17

Kupfer: ρ0 = 8930 kg/m3 ; C0 = 3940 m/s ; s = 1,48 ; Γ = 1,96

Literatur

  • Debye, P.: Zur Theorie der spezifischen Wärmen. Annalen der Physik 39, 789-839 (1912)
  • Grüneisen, E.: Theorie des festen Zustandes einatomiger Elemente. Annalen der Physik 39, 257-306 (1912)
  • Mie, G.: Grundlagen einer Theorie der Materie. Annalen der Physik 2, 1-40 (1912)
  • G.McQueen, S.P.Marsh, J.W.Taylor, J.N.Fritz, W.J.Carter: "High Velocity Impact Phenomena", (1970), S. 230
  • M.A.Zocher et al.: "An evaluation of several hardening models using Taylor cylinder impact data", Proc. European Congress on computational Mathods in Applied Sciences and Engineering", ECCOMAS, Barcelona, Spain
 
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