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Lambert-Beersches Gesetz



Das Lambert-Beer'sche Gesetz ist eine Vereinigung des Bouguer-Lambertschen Gesetzes über die Schwächung der Strahlungsintensität mit der Weglänge beim Durchgang durch eine absorbierende Substanz mit dem Beer'schen Gesetz über den Zusammenhang der Intensitätsschwächung mit der Konzentration der absorbierenden Substanz. Das Gesetz bildet die Grundlage der modernen Photometrie als analytische Methode.

Die einfache Fassung ist für monochromatische Strahlung (Licht) und verdünnte Lösungen bzw. deren optische Entsprechung in Festkörpern oder Gasräumen gültig.

Inhaltsverzeichnis

Extinktion in der Fotometrie

 

Die Extinktion Eλ (Absorbanz des Materials für Licht der Wellenlänge λ) ist gegeben durch

E_\lambda = -\lg \! \left(\frac{I}{I_{0}}\right) = \epsilon_{\lambda} \cdot c \cdot d

mit

  • I: Intensität des transmittierten Lichtes
  • I0: Intensität des einfallenden (eingestrahlten) Lichtes
  • c: Konzentration der absorbierenden Substanz in der Flüssigkeit (typische Einheiten: [mol·m-3] oder [mol·l-1])
  • ελ: natürlicher molarer Extinktionskoeffizient bei der Wellenlänge λ. Dieser ist eine für die absorbierende Substanz spezifische Größe und kann zusätzlich auch z.B. vom pH-Wert oder vom Lösungsmittel abhängen. Er hat die Einheit
    [dm3·mol-1·cm-1] oder [l·mol-1·cm-1].
  • d: Weglänge des Lichtes im Material, Einheit: [cm].

Die Abnahme der Lichtintensität beim Durchqueren einer Probelösung mit der Konzentration c kann auch durch folgende abfallende Exponentialfunktion beschrieben werden:

I = I_0 \cdot e^{(-\epsilon' \cdot c \cdot d)}

Durch Umformen der Gleichung ergibt sich:

- \ln \! \left(\frac{I}{I_0}\right) = \epsilon' \cdot c \cdot d.

Die Extinktion und der Extinktionskoeffiezient werden allerdings nicht über den natürlichen Logarithmus definiert. Dieser wird einfach in die Konstante gezogen: Aus ε' wird ε.

- \lg \! \left(\frac{I}{I_0}\right) = \epsilon \cdot c \cdot d.

Dabei ist ε der natürliche molare Extinktionskoeffizient.

Wellenlängenabhängigkeit

Die Extinktion ist auch von der Wellenlänge λ des eingestrahlten Lichtes abhängig, in Formulierung der Wellenlängenabhängigkeit mit dem Extinktionskoeffizienten k:

\epsilon' = \frac{4 \pi k}{\lambda}.

Strahlungsdämpfung allgemein

Das gleiche Gesetz gilt auch für den Abfall der Intensität von sich in dämpfenden Stoffen ausbreitender Strahlung aller Art. Es stellt z.B. die Beziehung zur Berechnung der Dämpfung optischer Strahlung in Lichtwellenleitern (LWL) oder in dämpfenden optischen Medien oder die Abhängigkeit der Schirmwirkung gegenüber radioaktiver Strahlung von der Dicke des Schirmes dar. Umgekehrt kann mit diesem Zusammenhang bei Kenntnis beider Intensitäten eine Dickenmessung erfolgen.
Die durch ein Medium der Länge l hindurchtretende Strahlungsleistung P(d) ist:

P(d) = P_0 \cdot e^{-\epsilon^'d}.

mit
P0 - eintretende Leistung
ε' - Dämpfungsfaktor bzw. Absorptionskoeffizient in m-1
d Materialstärke bzw. -länge in m.

Dabei ist ε' oft stark von der Wellenlänge λ und vom Material abhängig.

Lichtwellenleiter

Für das in Langstrecken-Lichtwellenleitern verwendete Silikatglas verringert sich ε'(λ) zwischen dem sichtbaren Bereich um 0,6µm bis etw 1,6 µm mit der vierten Potenz der Wellenlänge; an dieser Stelle erfolgt dann eine steile Erhöhung der Dämpfung durch eine Materialresonanz des Glases. Ein weiterer Dämpfungspol liegt im Ultraviolett-Bereich. OH-Ionen im Glas, die man durch spezielle Herstellungstechnologien zu vermeiden sucht, verursachen eine (inzwischen geringe) selektive Dämpfungserhöhung bei etwa 1,4 µm. Die Dämpfungswerte für die in LWL-Kurzstrecken eingesetzte Kunststofffasern sind höher und sind ebenfalls stark material- und wellenlängenabhängig; sie sind am geringsten im sichtbaren Bereich.

An Stelle der oben angegebenen Schreibweise wird in der Signalübertragungstechnik die Darstellung

P(d) = P_0 \cdot 10^{-(\epsilon d)/10}

verwendet ( α - Dämpfung in dB/km und d- Länge des LWLs in km), weil in der Nachrichtentechnik durchweg das Verhältnis von (elektrischen ebenso wie optischen) Leistungen im dezimal-logarithmischen Maß dB (deziBel) angegeben wird:

\epsilon_{/dB}=10 \cdot \log\frac{P_0}{P_1}

Fernerkundung/Atmosphäre

Für die Atmosphäre wird das Lambert-Beersche Gesetz üblicherweise wie folgt formuliert:

I = I_0\,e^{-m(\tau_a+\tau_g+\tau_{NO2}+\tau_w+\tau_{O3}+\tau_r)} ,

wobei die optischen Dicken τx enthaltener Stoffe superponiert werden, mit x

m

Die Bestimmung von τa ist notwendig für die Korrektur von Satellitenbildern und beispielsweise von Interesse bei der Klimabeobachtung.

Geschichte

Das Lambert-Beersche Gesetz wurde von Pierre Bouguer vor dem Jahre 1729 entdeckt. Häufig wird es fälschlicherweise Johann Heinrich Lambert zugeschrieben, der Bougers "Essai d'optique sur la gradation de la lumière"(Claude Jombert, Paris, 1729) in seiner “Photometria” (1760) anführt und sogar daraus zitiert. Im Jahre 1852 erweiterte August Beer das Gesetz, indem er die Konzentration des Absorbanten in Abhängigkeit zum transmittertem Licht stellte.

Links

http://www.biorama.ch/biblio/b40laban/b24meth/m04abs/abs030.htm

http://dc2.uni-bielefeld.de/dc2/rk/rk-lbg.htm

 
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