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Coulomb-Eichung



Die Coulomb-Eichung (auch Strahlungseichung oder transversale Eichung) stellt eine mögliche Einschränkung des Vektorpotentials \mathbf A (\mathbf r,t) dar. Die Variable \mathbf r ist eine vektorielle Größe und repräsentiert den Ort. Die skalare Variable t steht für die Zeit. Auf Grund der Coulomb-Eichung wird das Vektorpotential \mathbf A (\mathbf r,t) so gewählt, dass

{\rm div} \mathbf A (\mathbf r,t)=0

gilt, d.h. dass die Divergenz des Vektorpotentials \mathbf A (\mathbf r,t) verschwindet.

Für ein zeitlich konstantes Vektorfeld \mathbf v \,(\mathbf r) im \mathbb{R}^3, das im Unendlichen gegen Null geht, führt folgende Coulomb-Eichung zum gesuchten Potential:

\mathbf A (\mathbf r)= \frac{1}{4\pi} \mathbf \nabla \times \int_{\mathbb{R}^3}  \frac{\mathbf v(\mathbf r \,')}{\left|\mathbf r-\mathbf r \,'\right|}\,d^3\mathbf r \,'

Zur Lösung der Maxwell-Gleichungen, der Grundgleichungen der Theorie des Elektromagnetismus, werden üblicherweise Potentialfunktionen eingeführt, nämlich das skalare Potential \phi(\mathbf r,t) und das Vektorpotential \mathbf A (\mathbf r,t). Die Potentialfunktionen sind ledigliche Hilfsfunktionen zur Lösung der Maxwell-Gleichungen. Das Vektorpotential \mathbf A (\mathbf r,t) wird durch die folgende Gleichung definiert:

\mathbf B (\mathbf r,t)= {\rm {rot}} \mathbf A (\mathbf r,t).

\mathbf B repräsentiert die magnetische Induktion am Ort \mathbf r zum Zeitpunkt t. Die Rotation des Vektorpotentials \mathbf A (\mathbf r,t) erzeugt die magnetische Induktion \mathbf B (\mathbf r,t).

Das skalare Potential \phi(\mathbf r,t) wird durch folgende Gleichung definiert:

\mathbf E (\mathbf r,t)=-{\rm grad}\phi(\mathbf r,t)-\frac{{\partial\mathbf A}(\mathbf r,t)}{\partial t}.

\mathbf E repräsentiert das elektrische Feld am Ort \mathbf r zum Zeitpunkt t. Der negative Gradient des skalaren Potentials \phi(\mathbf r,t) und die negative partielle Ableitung des Vektorpotentials \mathbf A (\mathbf r,t) nach der Zeit erzeugen das elektrische Feld \mathbf E

Das Vektorpotential \mathbf A (\mathbf r,t) wird durch die vorstehende Definition und die Maxwell-Gleichungen nicht eindeutig festgelegt. Die Maxwell-Gleichungen lassen eine Menge von Lösungen für das Vektorpotential \mathbf A (\mathbf r,t) und das skalare Potential \phi(\mathbf r,t) zu. Sofern eine bestimmte Lösung für das Vektorpotential gefunden wurde, können daraus durch Eichtransformation weitere Lösungen erzeugt werden. Die Eichtransformationen haben keine Auswirkung auf die resultierenden elektrischen und magnetischen Felder; sie haben keinerlei physikalische Auswirkung. Die zusätzlichen unphysikalischen Freiheitsgrade können durch Eichung des Vektorpotentials festgelegt werden. Zu den bekannten Eichungen in der Elektrodynamik zählen die Coulomb-Eichung und die Lorenz-Eichung.

Die Coulomb-Eichung legt nicht nur das Vektorpotential sondern auch das skalare Potential fest. Die Lösung für das skalare Potential \phi(\mathbf r,t) entspricht im Falle der Coulomb-Eichung dem Coulomb-Potential, welches das Potential einer elektrostatischen Ladungsverteilung beschreibt. Daher rührt der Name Coulomb-Eichung.

 
Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Coulomb-Eichung aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation. In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.
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