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Dispersion (Phononen)



Die Dispersion bezeichnet allgemein die Abhängigkeit der Kreisfrequenz ω von der Wellenzahl k. Bei Phononen ergibt sich diese Beziehung aus der Newtonschen Bewegungsgleichung. Dazu nimmt man an, dass sich die Atome in einem periodischen Potential V befinden, in dem sie Schwingungen ausführen.

Weiteres empfehlenswertes Fachwissen

Zwei benachbarte Atome haben einen Phasenunterschied von ka, wobei a der Abstand zweier benachbarter Atome in der Ruhelage ist. Ein Phasenunterschied von entspricht einem von Null; höhere Phasenunterschiede sind dementsprechend äquivalent mit einem Wert zwischen 0 und . Aus Symmetriegründen betrachtet man das Intervall zwischen − π und π. Das entspricht k-Werten aus der ersten Brillouinzone, also k\in\lbrack -\pi/a,\pi/a \rbrack. Dadurch hat man alle physikalisch relevanten Wellenzahlen abgedeckt.

Es gibt zwei mögliche Schwingungszustände: akustische und optische Moden.  

Akustische Phononen

Hierfür lautet die Dispersionsrelation

\omega (k) = 2 \sqrt{\frac{f}{m}} \left| \sin \left( \frac{k a}{2}\right) \right|,

wobei f die Kraftkonstante zwischen zwei benachbarten Ebenen und m die Masse eines Atoms ist.

Für niedrige Werte von k \left( a k \ll 1 \right) lautet der Ausdruck näherungsweise

\omega (k) \approx a \sqrt{ \frac{f}{m}} |k|=c_s k.
cs ist die Schallgeschwindigkeit.

An den Zonengrenzen gilt

\omega = 2 \sqrt{ \frac{f}{m}}=\mathrm{const}.

Die Gruppengeschwindigkeit, also die Geschwindigkeit des Energietransports im Medium, ergibt sich zu

v_g = \frac{ \mathrm{d} \omega}{ \mathrm{d}k}= \sqrt{ \frac{f a^2}{m}} \cos \left( \frac{1}{2}k a \right).

Am Zonenrand ist die Gruppengeschwindigkeit Null: die Welle verhält sich wie eine stehende Welle.

Optische Phononen

Für den optischen Ast gilt bei einer zweiatomigen Basis

\omega=\sqrt{2f \left( \frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2} \right)}.

Der optische Zweig ist höherfrequent als der akustische und nahezu dispersionslos.

 
Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Dispersion_(Phononen) aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation. In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.
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