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Fresnelsche Formeln



Die Fresnelschen Formeln (nach Augustin Jean Fresnel) beschäftigen sich mit dem Reflexionsgrad bzw. Transmissionsgrad von elektromagnetischen Wellen an einer dielektrischen Grenzfläche. Das heißt, sie beschreiben das Verhältnis der reflektierten bzw. der transmittierten Amplitude zu der Amplitude der einfallenden Welle. Sie können aus den Maxwellschen Gleichungen hergeleitet werden, dabei nutzt man Sonderfälle der Randbedingungen elektromagnetischer Wellen an einer ladungs- und stromfreien Grenzschicht:

  • \vec{n}\times (\vec{E}_2-\vec{E}_1)=0
  • \vec{n}\cdot(\vec{D}_2-\vec{D}_1)=0
  • \vec{n}\times (\vec{H}_2-\vec{H}_1)=0
  • \vec{n}\cdot (\vec{B}_2-\vec{B}_1)=0

Hierbei ist \vec{n} die Normale auf die Grenzfläche und die anderen Größen beschreiben Magnetfeld und elektrisches Feld in den beiden Medien. Jede beliebig polarisierte elektromagnetische Welle lässt sich als Superposition zweier linear polarisierter Wellen, die senkrecht zueinander schwingen, darstellen. Deshalb reicht es aus, die Amplitudenverhältnisse für parallel und senkrecht zur Einfallsebene linear polarisierte Wellen zu berechnen.

Inhaltsverzeichnis

Allgemeiner Fall

Im allgemeinen Fall haben beide Medien eine unterschiedliche Permittivität εr und Permeabilität μr. Man betrachtet eine einfallende Welle \vec{E}=(E_{0e})_s\  \vec{e}_s\  e^{i(\vec{k}_e  \cdot \vec{r}-\omega\ t +\delta_s)}+(E_{0e})_p\  \vec{e}_p\  e^{i(\vec{k}_e  \cdot \vec{r}-\omega\  t +\delta_p)}. Für die beiden Basisvektoren wählt man \ \ \vec{e}_p=\vec{k}_e\times \vec{n}\ und \ \ \vec{e}_s=\vec{k}_e\times(\vec{k}_e\times\vec{n}). Die δi entsprechen einer beliebigen Phasenverschiebung. Somit lässt sich jede beliebig polarisierte Welle in dieser Form darstellen.

senkrechte Polarisation

  Als erstes betrachtet man die Komponente, die linear senkrecht zur Einfallsebene polarisiert ist. Die Einfallsebene wird aufgespannt vom Wellenvektor \vec{k_e} und der Flächennormalen \vec{n}

\left( \frac{E_{0t}}{E_{0e}} \right)_s=\frac{2n_1 \cos{\alpha}}{n_1\cos{\alpha}+\frac{\mu_{r1}}{\mu_{r2}}\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2{\alpha}}}
\left( \frac{E_{0r}}{E_{0e}} \right)_s=\frac{n_1\cos{\alpha}-\frac{\mu_{r1}}{\mu_{r2}}\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2{\alpha}}}{n_1\cos{\alpha}+\frac{\mu_{r1}}{\mu_{r2}}\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2{\alpha}}}

parallele Polarisation

  Des weiteren wird die Amplitude einer in der Einfallsebene linear parallel polarisierten Welle betrachtet:

\left( \frac{E_{0t}}{E_{0e}} \right)_p=\frac{2n_1n_2 \cos{\alpha}}{n_2^2\frac{\mu_{r1}}{\mu_{r2}}\cos{\alpha}+n_1\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2{\alpha}}}
\left( \frac{E_{0r}}{E_{0e}} \right)_p=\frac{n_2^2\frac{\mu_{r1}}{\mu_{r2}}\cos{\alpha}-n_1\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2{\alpha}}}{n_2^2\frac{\mu_{r1}}{\mu_{r2}}\cos{\alpha}+n_1\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2{\alpha}}}

Spezialfall: μr1 = μr2

Für den in der Praxis häufigen Spezialfall μr1 = μr2 (z.b. μr = 1 für nicht magnetische Materialien) vereinfachen sich die Fresnel Formeln wie folgt:

senkrechte Polarisation

\left( \frac{E_{0t}}{E_{0e}} \right)_s=\frac{2n_1 \cos{\alpha}}{n_1\cos{\alpha}+n_2\cos{\beta}}=\frac{2 \sin{\beta}\cos{\alpha}}{\sin{(\alpha+\beta)}}
\left( \frac{E_{0r}}{E_{0e}} \right)_s=\frac{n_1\cos{\alpha}-n_2\cos{\beta}}{n_1\cos{\alpha}+n_2\cos{\beta}}=\frac{\sin{(\beta-\alpha)}}{\sin{(\beta+\alpha)}}

parallele Polarisation

\left( \frac{E_{0t}}{E_{0e}} \right)_p=\frac{2n_1 \cos{\alpha}}{n_2\cos{\alpha}+n_1\cos{\beta}}=\frac{2\sin{\beta}\cos{\alpha}}{\sin{(\alpha+\beta)}\cos{(\alpha-\beta)}}
\left( \frac{E_{0r}}{E_{0e}} \right)_p=\frac{n_1\cos{\beta}-n_2\cos{\alpha}}{n_2\cos{\alpha}+n_1\cos{\beta}}=\frac{\tan{(\beta-\alpha)}}{\tan{(\alpha+\beta)}}

Zusammenhang mit Reflexions- und Transmissionskoeffizienten

In der klassischen Elektrodynamik bezeichnet man als Reflexionskoeffizienten R:

R =\left| \frac{\vec{S}_r\cdot \vec{n}}{\vec{S}_e \cdot \vec{n}}\right|

und als Transmissionskoeffizienten T:

T =\left| \frac{\vec{S}_t\cdot \vec{n}}{\vec{S}_e \cdot \vec{n}}\right|

Hierbei bezeichnet \vec{S}_i den jeweiligen zeitgemittelten Poynting-Vektor Die beiden Koeffizienten lassen sich nun mit Hilfe der Fresnelschen Formeln berechnen:


R=\left| \frac{E_{0r}}{E_{0e}}\right|^2

T=\sqrt{\frac{\epsilon_{r2}\mu_{r1}}{\epsilon_{r1}\mu_{r_2}}}\frac{\cos{\beta}}{\cos{\alpha}} \left| \frac{E_{0t}}{E_{0e}}\right|^2

mit \left(E_{0i}\right)_p^2+\left(E_{0i}\right)_s^2=\left| E_{0i}\right|^2.

Außerdem gilt die Energieströmungsbilanz T + R = 1

siehe auch

Reflexion, Brewsterwinkel

Literatur

  • Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 3: Elektrodynamik. 7. Auflage. Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-20509-8
  • Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 2. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20210-2.
  • John David Jackson: Klassische Elektrodynamik. de Gruyter, Berlin 2006, ISBN 3-11-018970-4.
 
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