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Quantenstatistik



In der Quantenstatistik wird das Verhalten makroskopischer Systeme mit den Methoden der Quantenmechanik untersucht. Ähnlich wie in der klassischen statistischen Physik ist der Ausgangspunkt die Annahme, dass sich das System in einem nicht näher bekannten Mikrozustand befindet. Liegt das System in einem Zustand |\psi\rangle des Hilbertraums vor, spricht man von einem reinen Zustand. In Analogie zum klassischen Ensemble betrachtet man Überlagerungen verschiedener Zustände | n\rangle, die sogenannten gemischten Zustände. Zur Beschreibung des quantenmechanischen Systems benutzt man den Dichteoperator

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\rho = \sum_n p_n |n\rangle\langle n|

Für die Quantenstatistik wichtig ist die Existenz identischer Teilchen, das sind Quantenobjekte, die sich durch keine Messung unterscheiden lassen, mit anderen Worten der Hamiltonoperator des Systems ist symmetrisch in den Teilchenvariablen, z. B. Orts- und Spinfreiheitsgrad. Die Vielteilchenwellenfunktion ψ(1,2,...,N) bleibt unter Vertauschung invariant, jeder Operator A kommutiert mit einer Permutation P der Teilchen: \left[A,P\right] = 0

Da jede Permutation aus Transpositionen τij zusammengesetzt werden kann und \tau_{ij}^2 = 1 gilt, ist es sinnvoll nur total symmetrische oder antisymetrische Vielteilchenzustände zu betrachten:

\tau_{ij}|...,i,...,j...\rangle = |...,j,...,i,...\rangle = \pm|...,i,...,j,...\rangle

Das Experiment zeigt, dass die Natur tatsächlich nur solche Zustände realisiert, was am Fehlen von Austauschentartung erkennbar ist, man bezeichnet diese Tatsache auch als Symmetrisierungspostulat. Teilchen, deren Wellenfunktion symmetrisch ist, bezeichnet man als Bosonen, die anderen als Fermionen. In zwei Dimensionen ist ein Phasenfaktor eiφ bei Vertauschung denkbar, diese Teilchen werden Anyonen genannt. Das Spin-Statistik-Theorem verknüpft die Symmetrie der Wellenfunktion mit ihrem Spin, Fermionen haben halbzahligen, Bosonen ganzzahligen Spin, bei den Anyonen können andere rationale Verhältnisse auftreten. Die Fermi-Dirac-Statistik beschreibt die Verteilung von Fermionen auf die Zustände eines Vielteilchensystems, die Bose-Einstein-Statistik entsprechend für Bosonen. Beispiele für quantenstatistische Effekte sind (für Bosonen) die Bose-Einstein-Kondensation, verknüpft damit Supraleitfähigkeit (Cooper-Paare!) und Suprafluidität, die Hohlraumstrahlung schwarzer Körper. Für Fermionen sind signifikante Beispiele quantenstatistischer Effekte die Wärmekapazität von Festkörpern, die Bänderstruktur von Metallen und Halbleitern, der Zusamenhalt von sog. weißen Zwergen und Neutronensternen gegenüber der Eigengravitation. Allgemein gilt der sog. Nernstsche Satz (3. Hauptsatz der Thermodynamik (Der Absolute Nullpunkt kann nie erreicht werden)).

Zusammenhang mit dem Drehverhalten der Wellenfunktion

Fermionen bzw. Bosonen haben bekanntlich halbzahligen bzw. ganzahligen Spin (gemessen in Einheiten von \hbar =h/(2\pi ), mit dem Wirkungsquantum h). Die zuletzt angegebene Vertauschungsgleichung wird deshalb auch als Spin-Statistik-Theorem bezeichnet. Es wurde aus allgemeinen Prinzipien der relativistischen Quantenfeldtheorie von Wolfgang Pauli bewiesen. Auch das Drehverhalten der Wellenfunktion ist in diesem Zusammenhang interessant: Für Fermionen gilt ja, dass sich bei einer räumlichen Drehung um 360o die Wellenfunktion (Wf) nur um 180o ändert (Wf -> eiπ Wf = -Wf), während sich bei Bosonen die Wellenfunktion reproduziert (Wf -> e2iπ Wf = +Wf). Die Vertauschung zweier Teilchen kann gerade durch eine solche 360o-Drehung erfolgen (Teilchen 1 bewegt sich zum Ort 2 z.B. auf der oberen Hälfte einer Kreislinie, während Teilchen 2 sich, unter Vermeidung eines Zusammentreffens, auf der unteren Halbkreislinie zum leer gewordenen Ort von 1 bewegt). Das Ergebnis der obigen Permutationsgleichung passt also genau zum ungewöhnlichen Drehverhalten fermionischer Wellenfunktionen (mathematische Struktur: siehe Doppelgruppe SU(2) zur gewöhnlichen Drehgruppe SO(3)).

 
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