Meine Merkliste
my.chemie.de  
Login  

Separabilität (Quantenmechanik)



In der Quantenmechanik bezeichnet man den Zustand eines zusammengesetzten Systems als separabel wenn er nicht verschränkt ist, das heißt, wenn er sich als Gemisch aus Produktzuständen schreiben lässt.


Inhaltsverzeichnis

Separabilität für reine Zustände

Der Einfachheit halber werden im folgenden alle Räume als endlichdimensional angenommen. Zunächst betrachten wir reine Zustände.

Separabilität ist eine Eigenschaft zusammengesetzter Quantensysteme, das heißt im einfachsten ("bipartiten") Fall, eines aus den Teilsystemen "1" und "2" bestehenden Gesamtsystems "12". Die quantenmechanischen Zustandsräume der Teilsysteme seien die Hilberträume H1 und H2 mit den jeweiligen orthonormalen Basisvektoren \{|{a_i}\rangle\}_{i=1}^n und \{|{b_j}\rangle\}_{j=1}^m. Der Hilbertraum des zusammengesetzen Systems ist dann das Tensorprodukt

H_{12} = H_1\otimes H_2,

mit der Basis \{|{a_i}\rangle\otimes |{b_j}\rangle\}, oder in kompakterer Notation \{|a_i b_j \rangle\}. Jeder Vektor in H12 (d.h., jeder reine Zustand des Systems "12") lässt sich schreiben als |\psi\rangle = \Sigma_{i,j} c_{i,j} | a_i \rangle \otimes | b_j \rangle =\Sigma_{i,j} c_{i,j} | a_i b_j \rangle.

Wenn sich ein reiner Zustand |\psi\rangle \in H_1 \otimes H_2 in der Form |\psi\rangle = |\psi_1\rangle \otimes |\psi_2\rangle schreiben lässt (wobei |\psi _i \rangle ein reiner Zustand des Teilsystems i ist), heißt er separabel oder Produktzustand. Andernfalls nennt man den Zustand verschränkt.

Standardbeispiele für einen separablen und einen verschränkten Zustandsvektor in H_{12} = \mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2 sind


|00\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} bzw. |\Phi^+\rangle = (|00\rangle+|11\rangle)/\sqrt{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.

Man sieht,

  • dass man in einem reinen separablen Zustand jedem Teilsystem einen "eigenen" Zustand zuweisen kann.
  • dass sich jeder reine separable Zustand durch lokale quantenmechanisch zulässige Operationen aus jedem anderen Zustand (z.B. aus |00\rangle) erzeugen lässt.

Beides ist in einem verschränkten Zustand nicht möglich. Passend verallgemeinert lässt sich diese Unterscheidung auch auf den Fall gemischter Zustände übertragen.

Die vorangehende Diskussion lässt sich ohne wesentliche Änderungen auf den Fall unendlichdimensionaler Systeme verallgemeinern.

Separabilität für gemischte Zustände

Nun betrachten wir den Fall gemischter Zustände. Ein gemischter Zustand des zusammengesetzten Quantensystems "12" wird durch eine Dichtematrix ρ beschrieben, die auf dem Hilbertraum H_{12}=H_1 \otimes H_2 wirkt.

ρ ist separabel wenn es p_k\geq 0 und Zustände \{\rho_1^k \} auf H1 und \{ \rho_2^k \} auf H2 gibt (die jeweils gemischte Zustände der Teilsysteme beschreiben), so dass

\rho=\sum_k p_k \rho_1^k \otimes \rho_2^k,

wobei

pk = 1.
k

Andernfalls heißt ρ verschränkt.

Die physikalische Bedeutung dieser mathematischen Definition ist, dass sich ein separabler Zustand als Gemisch von Produktzuständen \rho_1^k \otimes \rho_2^k auffassen lässt.

  • Dies impliziert zum einen, dass ein separabler Zustand nur klassische Korrelationen zwischen den Teilsystemen beschreibt. (Denn ein Produktzustand beschreibt unabhängige (unkorrelierte) Systeme und die Korrelationen sind durch die klassische Wahrscheinlichkeitsverteilung pk gegeben.)
  • Zum anderen folgt, dass sich ein separabler Zustand mittels lokaler quantenmechanisch erlaubter Operationen und klassischer Kommunikation aus jedem anderen Zustand (z.B. aus |00\rangle erzeugen lässt. (Mittels klassischer Kommunikation wählen beide Parteien einen Index k gemäß der Wahrscheinlichkeitsverteilung pk aus und erzeugen dann (was jeweils lokal möglich ist) den Produktzustand \rho^1_k\otimes\rho^2_k.)

Es ist nach der obigen Definition klar das die separablen Zustände eine konvexe Menge bilden.

Wenn die Zustandsräume unendlichdimensional sind, werden Dichtematrizen durch positive Spurklasseoperatoren mit Spur 1 ersetzt. Ein Zustand heißt dann separabel, wenn er (in der Spurnorm) durch Zustände der obigen Form approximiert werden kann.

Separabilität für Vielparteien-Systeme

Die vorangehende Diskussion lässt sich leicht für aus vielen Teilsystemen bestehende Quantensysteme verallgemeinern. Wenn das System aus n Teilsystemen mit System-Hilbertraum Hi,i = 1,...,n besteht, dann ist ein reiner Zustand auf H_{1..n} = H_1\otimes H_2\otimes...\otimes H_n genau dann separabel (genauer: vollständig separabel), wenn er von der Form

| \psi \rangle = | \psi_1 \rangle \otimes \cdots \otimes |\psi_n \rangle

ist. Analog ist ein gemischter Zustand ρ auf H1..n separabel, wenn er sich als konvexe Summe von Produktzuständen schreiben lässt:

\rho = \sum_k p_k \rho_1 ^k \otimes \cdots \rho_n ^k.

Separabilitätskriterien

Ein reiner Zustand ρ12 auf H_1 \otimes H_2 ist genau dann separabel, wenn die Entropie der reduzierten Zustände verschwindet, das heißt, wenn S1) = 0 oder S2) = 0 ist (beide Gleichungen sind über die Schmidt-Zerlegung) äquivalent.

Die Frage, ob ein gegebener gemischter Zustand ρ separabel ist (Separabilitätsproblem), ist im allgemeinen schwer zu beantworten (NP-hart [1]). Die Unterscheidung von separablen und verschränkten Zuständen ist in der Quanteninformationstheorie von großem Interesse, da nur verschränkte Zustände Quantenkorrelationen aufweisen und eine wichtige Ressource darstellen, die Verfahren wie Quantenteleportation ermöglicht.

Ein Separabilitätskriterium ist eine (leicht überprüfbare) Bedingung, die jeder separable Zustand erfüllt (notwendige Bedingung für Separabilität). Die Verletzung einer solchen Bedingung ist dann hinreichend für den Nachweis von Verschränkung. Beispiele für solche Kriterien sind die Erfüllung der Bellschen Ungleichung oder das Peres-Horodecki-Kriterium, das besagt, dass die Dichtematrix eines separablen Zustands unter partieller Transposition positiv bleibt. Allgemeiner lässt sich formulieren, dass die Dichtematrix eines separablen Zustands unter Anwendung jeder positiven Abbildung T in einem der Teilsysteme positiv bleiben muss:

(1\otimes T)\rho \geq 0.

Im allgemeinen (d.h. für nicht notwendig separable Zustände) gilt dies nur für vollständig positive Abbildungen T. Die Gültigkeit der obigen Ungleichung für alle positiven Abbildungen T ist notwendig und hinreichend für Separabilität. [2]

Andere Separabilitätskriterien ergeben sich aus den sogenannten Verschränktheitszeugen (entanglement witnesses) oder aus Verschränktheitsmaßen.

Literatur

  • G. Alber und M. Freyberger: Quantenkorrelationen und die Bellschen Ungleichungen, Physikalische Blätter 55, Nr. 10, 24 (1999).
  • A. Peres: Quantum Theory: Concepts and Methods, Kluwer Academic, 1995,
  • Eckert et al.: Entanglement Properties of Composite Quantum Systems, in: Quantum Information Processing, Th. Beth und G. Leuchs (eds.), Wiley-VCH, 2003.
  • J. Audretsch: Verschränkte Welt. Faszination der Quanten. Wiley-VCH, 2002.
  1. Gurvits J. Comput. Syst. Sci. 69, 448-484, (2004); Eprint quant-ph/0201022
  2. Horodecki et al. Phys.~Lett. A 223, 1 (1996); Eprint quant-ph/9605038.

Siehe auch

 
Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Separabilität_(Quantenmechanik) aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation. In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.
Ihr Bowser ist nicht aktuell. Microsoft Internet Explorer 6.0 unterstützt einige Funktionen auf Chemie.DE nicht.