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Symmetriegruppe



 

In der mathematischen Gruppentheorie ist die Symmetriegruppe eines geometrischen Objektes die Gruppe, die aus der Menge aller Kongruenzabbildungen besteht, die das Objekt auf sich selbst abbilden, zusammen mit der Verkettung von Abbildungen als Gruppenoperation.

Weiteres empfehlenswertes Fachwissen

Inhaltsverzeichnis

Begriffsklärung

Diese Begriffe beschreiben mögliche Eigenschaften eines Objektes. Um zu erkennen, welcher Symmetriegruppe das Objekt angehört, muss festgestellt werden, welche dieser Eigenschaften zutreffen.

Diskretheit

Eine Symmetriegruppe weist intuitiv gesehen dann eine diskrete Topologie auf, wenn es so etwas wie „kleinste Schritte“ gibt. Beispielsweise ist eine Gruppe von Drehungen um einen Punkt genau dann diskret, wenn alle möglichen Drehwinkel Vielfache eines kleinsten Winkels sind. Sind hingegen auch beliebig kleine Drehwinkel in der Gruppe enthalten, so ist diese Gruppe nicht diskret.

Allgemein hat jede Gruppe mit endlich vielen Elementen eine diskrete Topologie. Eine diskrete Gruppe lässt sich aus endlich vielen Symmetrieoperationen durch Komposition erzeugen. Der Umkehrschluss gilt jeweils nicht.

Praktisch gesehen ist eine Symmetriegruppe genau dann diskret, wenn es eine untere Schranke gibt sowohl für die Längen aller (von Null verschiedenen) Verschiebungen als auch für die Drehwinkel aller Drehsymmetrien.

Periodizität

Man betrachtet die Menge aller in der Gruppe enthaltenen (von Null verschiedenen) Verschiebungen (Translationen) und bestimmt, wie viele dieser Vektoren linear unabhängig voneinander sind. Formal gesprochen bestimmt man die Dimension des Spanns dieser Verschiebungsvektoren.

Enthält die Gruppe überhaupt keine Verschiebungen, so gibt es mindestens einen Punkt, der Fixpunkt aller Abbildungen ist. Man spricht in diesem Fall von einer Punktgruppe. Punktgruppen sind genau dann endlich, wenn sie diskret sind.

Sobald die Gruppe mindestens eine Verschiebung enthält, enthält sie zumindest in euklidischer Geometrie automatisch unendlich viele Elemente.

Entspricht die Zahl der linear unabhängigen Verschiebungsvektoren der Dimension des Raumes, in den das Objekt eingebettet ist, so gibt es einen beschränkten Teil des Objekts (eine Zelle), deren Bilder den gesamten Raum ausfüllen. Ist die Gruppe zusätzlich auch noch diskret, so spricht man von einer Raumgruppe und nennt das Muster periodisch. In diesem Fall gibt es einen beschränkten Fundamentalbereich von gleicher Dimension wie der Raum, also beispielsweise in der Ebene mit einer von Null verschiedenen Fläche.

Zweidimensionale euklidische Geometrie

Die Symmetriegruppen in der euklidischen Ebene lassen sich wie folgt klassifizieren:

  • Diskret
    • Ohne Verschiebungen
      • Ohne Achsenspiegelungen
        Familie der endlichen zyklischen Gruppen Cn (für n=1,2,\ldots), das sind alle Drehungen um einen Punkt um Vielfache von \frac{360^\circ}{n}
        C1: Symmetriegruppe eines komplett unsymmetrischen Objektes, mit der Identität als einzigem Element
        C2: Symmetriegruppe einer Punktspiegelung
        C3: Symmetriegruppe einer Triskele
        C4: Symmetriegruppe eines Swastika
      • Mit Achsenspiegelungen
        Familie der Diedergruppen Dn (für n=1,2,\ldots), das sind Drehungen wie Cn zusammen mit n Spiegelachsen durch den Mittelpunkt
        D1: Einzelne Achsenspiegelung
        D2: Symmetriegruppe eines nicht quadratischen Rechtecks
        Dn: Symmetriegruppe eines regelmäßigen n-Ecks
    • Mit Verschiebungen, die alle kollinear sind (Span der Translationen hat Rang 1)
      7 Friesgruppen
    • Mit mindestens zwei linear unabhängigen Verschiebungen
      17 ebene kristallographische Gruppen
  • Nicht diskret
    • Ohne Verschiebungen
      Orthogonale Gruppe O(2), das sind alle Symmetrien eines Kreises, also alle Drehungen und alle Spiegelungen an Achsen, die durch den Mittelpunkt gehen
    • Mit Verschiebungen
      Dieser Fall muss noch weiter aufgeschlüsselt werden.

Andere Dimensionen

Siehe auch

 
Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Symmetriegruppe aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation. In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.
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