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Von-Neumann-Gleichung



Die von-Neumann-Gleichung (nach John von Neumann) beschreibt die zeitliche Entwicklung des Dichteoperators \hat\rho:

\hat\rho=|\psi\rangle\langle\psi|=\sum_i p_i |\psi_i\rangle\langle\psi_i|

Dabei bezeichnet pi die Wahrscheinlichkeit den Zustand |\psi_i\rangle zu messen. Die von-Neumann-Gleichung lässt sich dann aus der Schrödinger-Gleichung herleiten:

\frac{\partial\hat\rho}{\partial t}=-\frac{i}{\hbar}\left[\hat H,\hat\rho\right]

\hat H ist dabei der Hamilton-Operator des Systems und [\hat H,\hat\rho]=\hat H\hat\rho-\hat\rho\hat H ist ein Kommutator.

Vergleicht man die von-Neumann-Gleichung mit der Heisenbergschen Bewegungsgleichung für einen allgemeinen Operator \hat A so sieht man:

\frac{d\hat A}{dt}=\frac{i}{\hbar}\left[\hat H,\hat A\right]+\frac{\partial\hat A}{\partial t} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\hat\rho}{dt}=0

Der Dichteoperator definiert also eine Erhaltungsgröße - die Gesamtwahrscheinlichkeit. Die von-Neumann-Gleichung stellt damit das quantenmechanische Analogon zur Liouville-Gleichung der klassischen statistischen Mechanik dar, welche die Erhaltung des Phasenraumvolumens impliziert.

Literatur

Franz Schwabl, Quantenmechanik

 
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