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Zeitentwicklungsoperator



Der Zeitentwicklungsoperator ist ein quantenmechanischer Operator, mit dem sich die zeitliche Entwicklung eines physikalischen Systems berechnen lässt. Der quantenmechanische Operator ist eng verwandt mit dem Propagator in der Quantenfeld- oder Vielteilchentheorie. Üblicherweise wird er als U(t,t0) geschrieben und hat folgende Eigenschaften:

Weiteres empfehlenswertes Fachwissen

Definierende Eigenschaften:

  • Haupteigenschaft: |\psi(t)\rangle = U(t,t_0)|\psi(t_0)\rangle

damit folgt physikalisch:

daraus folgende Eigenschaften:

  • Unitarität zum Erhalt der Gesamtwahrscheinlichkeit
  • Komposition: U(t2,t0) = U(t2,t1)U(t1,t0)

Der infinitesimale Zeitentwicklungs-Operator hat die Form U(t_0+{\rm d}t,t_0)=1-\frac{i}{\hbar}H(t){\rm d}t. Ein nichtinfinitesimaler Zeitentwicklungs-Operator kann je nachdem, ob der Hamiltonoperator zeitabhängig ist und mit sich selbst zu unterschiedlichen Zeiten kommutiert, unterschiedliche Formen annehmen. Im einfachsten Fall ist H unabhängig von der Zeit und es gilt

U(t;t_0):=\exp\left(-\frac{i}{\hbar}(t-t_0)H\right).

Ist H = H(t) zeitabhängig, verallgemeinert man

U(t;t_0):=\hat T\left[\exp\left(-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t H(t^\prime)dt^\prime\right)\right].

mit dem Zeitordnungs-Operator \hat T.

Herleitung des Zeitentwicklungsoperators für zeitunabhängige Hamiltonoperatoren

Durch Anwenden des Zeitentwicklungsoperators auf die Wellenfunktion zum Zeitpunkt t0 = 0 erhält man die zeitabhängige Wellenfunktion:

|\psi(t)\rangle = U(t)|\psi(0)\rangle


Einsetzen der zeitabhängigen Wellenfunktion in die Schrödingergleichung:

\mathrm{i}\hbar\cdot\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle=H|\psi(t)\rangle

\Rightarrow \mathrm{i}\hbar\cdot\frac{\partial}{\partial t}U(t)|\psi(0)\rangle=HU(t)|\psi(0)\rangle


Durch Umformen erhält man folgende Differentialgleichung 1. Ordnung, deren Lösung der Zeitentwicklungsoperator für zeitunabhängige Hamiltonoperatoren ist.

\frac{U'(t)}{U(t)}=-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}H \Rightarrow

U(t)=\mathrm{e}^{\frac{-iH(t-t_0)}{\hbar}}


Der Zeitenwicklungsoperator ist unitär, da der Hamiltonoperator ein selbstadjungierter Operator ist (H^{\dagger}=H).

U(t)^+ U(t)=\mathrm{e}^{\frac{iH(t-t_0)}{\hbar}}\mathrm{e}^{\frac{-iH(t-t_0)}{\hbar}}=\mathrm{e}^0=1

Literatur

  • Modern Quantum Mechanics, J.J. Sakurai, Addison Wesley, 1994
 
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