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Elastizit�tsmodul

Elastizitätsmodul

Der Elastizitätsmodul (auch: Zugmodul oder Youngscher Modul, benannt nach dem englischen Arzt und Physiker Thomas Young) ist ein Materialkennwert aus der Werkstofftechnik, der den Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung bei der Verformung eines festen Körpers bei linear elastischem Verhalten beschreibt.

Der Elastizitätsmodul wird mit E-Modul oder als Formelzeichen mit E abgekürzt. Der Plural von Elastizitätsmodul ist Elastizitätsmodule.

Der Elastizitätsmodul hat die Einheit einer Spannung. Anschaulich formuliert ist der Elastizitätsmodul eines Materials diejenige Zugspannung, bei welcher sich ein Zugstab aus diesem Material in der Länge verdoppelt. (In der Realität tritt dieser Fall nie auf, eine Verdoppelung der Länge (Dehnung um 100%) ist bei keinem Material eine linear-elastische Deformation.)

Der Betrag des Elastizitätsmoduls ist um so größer, je mehr Widerstand ein Material seiner Verformung entgegensetzt. Ein Bauteil aus einem Material mit hohem Elastizitätsmodul (z. B. Stahl) ist also steif, ein Bauteil aus einem Material mit niedrigem Elastizitätsmodul (z. B. Gummi) ist nachgiebig.

Der Elastizitätsmodul ist die Proportionalitätskonstante im Hookeschen Gesetz. Bei kristallinen Materialien ist der Elastizitätsmodul grundsätzlich richtungsabhängig. Sobald ein Werkstoff eine kristallographische Textur hat, ist der Elastizitätsmodul also anisotrop.

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Inhaltsverzeichnis

1 Definition
- 1.1 Anwendung
- 1.2 Typische Zahlenwerte
2 Beziehungen elastischer Konstanten
3 Häufige Missverständnisse
4 Siehe auch
5 Quellenangaben

Definition

Der Elastizitätsmodul ist als Steigung des Graphen im Spannungs-Dehnungs-Diagramm bei einachsiger Belastung innerhalb des linearen Elastizitätsbereichs definiert. Dieser lineare Bereich wird auch als Hookesche Gerade bezeichnet.

$E=\frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\varepsilon}=\mathrm{const.}$

Dabei bezeichnet $σ$ die mechanische Spannung (Normalspannung, nicht Schubspannung) und $ε$ die Dehnung. Die Dehnung ist das Verhältnis von Längenänderung zur ursprünglichen Länge. Die Einheit des Elastizitätsmoduls ist die einer Spannung:

E in $\mathrm{\frac{N}{mm^2}}$ , in SI-Einheiten: E in $\mathrm{\frac{N}{m^2}}$ (Pascal)

Der Elastizitätsmodul wird als Materialkonstante bezeichnet, da mit ihm und den Querkontraktionszahlen das Elastizitätsgesetz aufgestellt wird. Der Elastizitätsmodul ist aber nicht bezüglich aller physikalischen Größen konstant. Er hängt von verschiedenen Umgebungsbedingungen wie z. B. Temperatur, Feuchte oder der Verformungsgeschwindigkeit ab.

Anwendung

Bei ideal linear elastischem Werkstoffgesetz (Proportionalitätsbereich im Spannungs-Dehnungs-Diagramm) ergibt sich die Federkonstante D eines geraden Stabes aus seiner Querschnittsfläche A, seiner Länge $L 0$ und seinem Elastizitätsmodul E.

$D=\frac{F}{\Delta L}=\frac{E \cdot A}{L_0}$

Mit den Ausdrücken $\sigma=\frac{F}{A}$ für die Spannung und $\varepsilon=\frac{\Delta L}{L_0}$ für die Dehnung erhält man aus obiger Gleichung das Hookesche Gesetz für den 1-achsigen Spannungszustand

$\sigma=E \cdot \varepsilon$

und daraus den E-Modul

$E=\frac{\sigma}{\varepsilon}$

Typische Zahlenwerte

Hinweise zur Einheitenumrechnung:

$1 \frac{1 \mathrm{N}}{\mathrm{mm}^2}= 1 \mathrm{MPa}$ (Ein Newton pro Quadratmillimeter ist ein Mega-Pascal)

$1 \frac{1 \mathrm{kN}}{\mathrm{mm}^2}= 1 \mathrm{GPa}$ (Ein Kilo-Newton pro Quadratmillimeter ist ein Giga-Pascal)

Metallische Werkstoffe bei 20 °C		Nichtmetallische Werkstoffe bei 20 °C
Material	E-Modul in kN/mm²	Material	E-Modul in kN/mm²
Ferritischer Stahl	210	CFK parallel zur Faser	150
Austenitischer Stahl	195	Glas	50 bis 90
Sphäroguss	170 bis 185	Glasfaser	55 bis 87
Grauguss	90 bis 155	Beton	22 bis 45
Messing	78 bis 123	Knochen	18 bis 21
Kupfer	120	Holz parallel zur Faser	7 bis 20
Titan	105	CFK quer zur Faser	13
Aluminium	70	Epoxid	~2,5
Magnesium	42	Holz quer zur Faser	0,23 bis 1,33
Blei	5	Silikonkautschuk	0,01 bis 0,1

Bei flächigen Bauteilen wird mit Flüssen an Stelle von Spannungen gerechnet $n_i=t\cdot\sigma_i$ . Daher setzt man hier einen dickenbezogenen Elastizitätsmodul ein, was einer Steifigkeit entspricht. Diese Größe hat die Einheit $\mathrm{\frac{N}{mm}}$ .

Beziehungen elastischer Konstanten

Es gilt für ein linear-elastisches, isotropes Material folgender Zusammenhang zwischen dem Schubmodul G, dem Kompressionsmodul K und der Poissonzahl μ:

$E = 2G \cdot (1+\mu) = 3K\cdot(1-2\mu) = \frac {9KG} {3K+G}$

Häufige Missverständnisse

„Bezug E-Modul zu anderen Materialkonstanten?“

Häufig wird der Elastitzitätsmodul mit anderen Materialkennwerten in Verbindung gebracht. Dies ist jedoch nicht einfach:

Der E-Modul hat keinen strengen Bezug zur Härte des Materials
Der E-Modul hat keinen strengen Bezug zur Streckgrenze $R e$ des Materials
Der E-Modul hat keinen strengen Bezug zur Zugfestigkeit $R m$ des Materials

Ein einfacher Baustahl hat (fast) den gleichen E-Modul wie ein hochlegierter hochfester rostfreier Edelstahl.

Es gibt aber einen generellen Trend:

Der E-Modul eines Metalles steigt mit seiner Schmelztemperatur.

Wolfram hat einen höheren E-Modul als Eisen, als Kupfer, als Aluminium als Blei.

Außerdem gilt:

Der E-Modul von krz-Metallen ist (bei vergleichbarer Schmelztemperatur) höher als der von kfz-Metallen.

Der Grund für die Zusammenhänge ist, dass sowohl der E-Modul als auch die Schmelztemperatur der Metalle von der Kraft-Abstands-Kurve der Atome abhängig sind.

„Spannungsreduktion durch besseres Material?“

Bei der Dimensionierung von Bauteilen herrscht oft die Meinung, dass bei einem „besseren“ Material die Spannungen kleiner werden müssten. Die Spannungen hängen aber nur von der Last und der Geometrie ab (Kraft pro Fläche), und nicht vom Material.

In manchen Spezialfällen (z.B. Bewegungen schwimmender Körper im Wellengang oder im Tidenhub; behinderte Wärmeausdehnung) sind Beanspruchungen aber nicht spannungs- sondern dehnungskontrolliert. In solchen Fällen können Werkstoffe mit niedrigerem Elastizitätsmodul dazu führen, daß Bauteilspannungen erniedrigt werden.

„E-Modul = Steifigkeit“

Die Steifigkeit eines Bauteils hängt ab vom verwendeten Material und der Verarbeitung, aber auch von der Geometrie des Bauteils. Für einen Zugstab ist die Steifigkeit das Produkt aus E-Modul und Querschnittsfläche, beim Biegebalken ist die Steifigkeit das Produkt aus E-Modul und Flächenträgheitsmoment. Für komplexe Geometrien lässt sich kein einfacher Ausdruck für die „Steifigkeit“ formulieren. Mit Hilfe der Finite-Elemente-Methode lassen sich diese mittels einzelner Elemente nachbilden und mit einer hierfür aufgestellten Gesamtsteifigkeitsmatrix lösen.

„sigma = E * epsilon“

Die Beziehung $\sigma = E \cdot \varepsilon$ gilt nur für den einachsigen Zug. Im allgemeinen 2D- oder 3D-Spannungszustand muss das Hookesche Gesetz in seiner allgemeinen Form angewandt werden - hier kommen mehrere Spannungen in jeden Dehungsterm, und mehrere Dehnungen in jeden Spannungsterm, z.B. $\varepsilon_x = \frac 1 E \cdot [\sigma_x - \mu \cdot ( \sigma_y + \sigma_z)]$ .

Eine Bestimmung der Dehnung, z.B. mittels Dehnungsmessstreifen oder Speckle-Interferometrie ist also noch keine Bestimmung der Spannungen im Bauteil.

Siehe auch

Schubmodul
Poissonzahl
Kompressionsmodul
Elastizitätsgesetz
Hookesches Gesetz
Kriechmodul

Quellenangaben

↑ Berechnung des Elastizitätsmoduls von Gläsern (in englischer Sprache)

Kategorien: Werkstoffeigenschaft | Festigkeitslehre

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