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Heisenbergsche Bewegungsgleichung



Die heisenbergsche Bewegungsgleichung entspricht der zeitlichen Entwicklung eines quantenmechanischen Systems in der Matrixdarstellung (oder auch in der Heisenberg-Darstellung der Quantenmechanik). Sie wurde von Werner Heisenberg in den 1920er Jahren entwickelt. Der wesentliche Unterschied zur Formulierung der Quantenmechanik über die Schrödingergleichung ist, dass in diesem Fall die Zustände die zeitliche Dynamik tragen und die Operatoren konstant sind, hingegen in der Heisenberg-Darstellung die Operatoren die zeitliche Dynamik tragen, während der Zustandsvektor, auf den die Operatoren wirken, zeitlich konstant ist. Daher ist die Heisenbergsche Formulierung näher an der klassischen Mechanik, was sich auch durch die formale Ähnlichkeit der klassischen Bewegungsgleichungen, ausgedrückt mit Hilfe der Poisson-Klammern zeigt.

Weiteres empfehlenswertes Fachwissen

Die Heisenbergsche Bewegungsgleichung ersetzt im Heisenberg-Bild der Quantenmechanik die Schrödinger-Gleichung des Schrödinger-Bildes.

Die Bewegungsgleichung selbst lautet:

{d \hat A \over dt}={\partial \hat A \over \partial t} +{i \over \hbar}[\hat H\mbox{,} \hat A]

wobei \hat H der Hamilton-Operator des Systems und [\hat H, \hat A] \equiv \hat H \hat A - \hat A \hat H ein Kommutator ist.

Sofern \hat A nicht explizit zeitabhängig ist, das heißt {\partial \hat A \over \partial t} = 0, so genügt \hat A(t) =  \hat U(t)^\dagger \hat A(0) \hat U(t) der Heisenbergschen Bewegungsgleichung, wobei \hat U(t)^\dagger der zu \hat U(t) adjungierte Operator ist.

Der Operator \hat U(t) der zeitlichen Entwicklung genügt der Gleichung {d \hat U \over dt}=-\frac{i}{\hbar} \hat H \hat U und gleicht für nicht explizit zeitabhängige \hat H

\hat U(t) = e^{-{i \over \hbar} \hat H t}

Siehe auch: Wellenfunktion

 
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