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Pauli-Matrizen



Die Pauli-Matrizen σi sind ein Satz von komplexen 2×2–Matrizen, die nach dem Physiker Wolfgang Pauli benannt sind. Mit ihnen kann der Spin der Elektronen beschrieben werden. Der Spin-Operator ist definiert als S_i = \frac{\hbar}{2} \sigma _i und ermöglicht es, Elektronen als 2-komponentige Weyl-Spinoren darzustellen.

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Die Pauli-Matrizen lauten

\sigma _ 1 =  \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad  \sigma _ 2 =  \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix} \qquad  \sigma _ 3 =  \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}

Sie gehorchen der Drehimpulsalgebra

\sigma_i \, \sigma_j = I_2 \delta_{ij} + i\, \epsilon_{ijk} \sigma_k \;,

[ \sigma_i ,\, \sigma_j ] = 2i\, \epsilon_{ijk}\; \sigma_k

Mathematisch bedeutet dies, dass die Pauli-Matrizen eine komplex 2-dimensionale Darstellung der Clifford-Algebra Cl(0,3,\mathbb R) erzeugen. Diese ist der gerade Anteil der Clifford-Algebra Cl(1,3,\mathbb R), die die quantenphysikalisch bedeutsame Spin(1,3)-Gruppe, die Spin-Gruppe der Lorentz-Transformationen, enthält.

Die drei Matrizen -i\,\sigma_k und ihre reellen Vielfachen erzeugen die Quaternionen-Algebra. Dabei entspricht -i\,\sigma_3 der imaginären quaternionischen Einheit i, -i\,\sigma_1 entspricht j und -i\,\sigma_2 entspricht k, wenn die Quaternionen als \begin{pmatrix}z^1\\z^2\end{pmatrix}\mapsto kz^1+z^2 parametrisiert werden.

Siehe auch

 
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