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Erzeugungs- und Vernichtungsoperator



Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, auch Hebe- und Senkoperatoren, sind der Kern einer eleganten Lösung der Schrödingergleichung des harmonischen Oszillators. Diese Operatoren können auch dazu benutzt werden, gewisse Probleme mit dem quantenmechanischen Drehimpuls einfacher zu lösen. Ferner finden die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren Verwendung bei der Quantisierung von Feldern (der sogenannten zweiten Quantisierung).

Statt der Bezeichnung „Erzeugungsoperator“ wird manchmal auch Erschaffungsoperator verwendet. Es sei darauf hingewiesen, dass im deutschsprachigen Raum die Operatoren σ + und σ, die die Zustände eines Atoms ändern, ebenfalls als Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren bezeichnet werden.

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Inhaltsverzeichnis

Definition

Die zeitunabhängige Schrödingergleichung des harmonischen Oszillators in Ortsdarstellung lautet

\left(-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm d^2}{\mathrm d x^2} + \frac{1}{2}m \omega^2 x^2\right) \psi(x) = E \psi(x),

was durch einfache Umformung zu

\frac{1}{2m}\left[\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\mathrm d}{\mathrm d x}\right)^2 + (m \omega x)^2\right] \psi(x) = E \psi(x)

wird. Hiebei ist ψ die Wellenfunktion, E die Energie, d/dx die Ableitung nach x und \hbar das Plancksche Wirkungsquantum.

Man versucht nun, den Inhalt der eckigen Klammer als Produkt zu schreiben, also

u2 + v2 = (u + iv)(uiv).

Durch Vergleich von u und v mit den Termen in der eckigen Klammern ergibt sich

a^{\dagger} = (u+iv) = \frac{1}{\sqrt{2m}}\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\mathrm d}{\mathrm d x} + i m \omega x\right)

und

a=(u-iv) = \frac{1}{\sqrt{2m}}\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\mathrm d}{\mathrm d x} - i m \omega x\right).

Hierbei ist a^{\dagger} der Erzeugungs- und a der Vernichtungsoperator. Häufig werden sie auch als a+ und a- geschrieben.

Eigenschaften

Das Produkt dieser Operatoren ergibt nicht wieder die obige Klammer, sondern

N=a^{\dagger}a = \frac{1}{2m}\left[\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\mathrm d}{\mathrm d x}\right)^2 + (m \omega x)^2\right] - \frac{1}{2}\hbar \omega.

Die Größe N heißt auch Teilchenzahloperator. Schreibt man den zusätzlichen Term auf die andere Seite, so kann man die Schrödingergleichung auch schreiben als

\left(a^{\dagger}a + \frac{1}{2}\hbar \omega\right)\psi(x) = E \psi(x).

Umgekehrt ist

aa^{\dagger} = \frac{1}{2m}\left[\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\mathrm d}{\mathrm d x}\right)^2 + (m \omega x)^2\right] + \frac{1}{2}\hbar \omega,

womit die Schrödingergleichung zu

\left(aa^{\dagger} - \frac{1}{2}\hbar \omega\right)\psi(x) = E \psi(x)

wird. Zudem gelten damit die Beziehungen

aa^{\dagger} - a^{\dagger}a = \hbar \omega
E = a^{\dagger}a +\frac{1}{2}\hbar\omega
E = aa^{\dagger} -\frac{1}{2}\hbar\omega

Eine besonders wichtige Eigenschaft der Operatoren ist diese: Ist ψ eine Lösung der Schrödingergleichung für die Energie E, so ist a^{\dagger}\psi eine Lösung für die Energie E+\hbar \omega und aψ eine Lösung für die Energie E-\hbar \omega. Das bedeutet, dass man aus einer Lösung alle Lösungen erhalten kann, indem man einfach die entsprechenden Operatoren auf diese Lösung anwendet. Dadurch wird eine neue Lösung für das benachbarte Energieniveau erzeugt. Da man zeigen kann, dass negative Energien nicht existieren, gibt es eine Lösung ψ0, die auf einem minimalen Energieniveau sitzt. Diese Lösung muss die Eigenschaft

aψ0 = 0.

besitzen. Damit kann die minimale Energie sofort bestimmt werden zu

E_0 = \left(a^{\dagger}a +\frac{1}{2}\hbar \omega\right)\psi_0 = \frac{1}{2}\hbar\omega.

Da jede Lösung um eine Energie \hbar\omega verschoben ist, ergeben sich die Energienivaus zu

E_n = \left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega

Herleitung

N ist ein hermitescher Operator und hat daher reelle Eigenwerte, die wir n nennen.

N\mid n\rangle=n\mid n\rangle

aus der Kommutatorrelation [a,a^{\dagger}]=1 folgt [N,a^{\dagger}]=a^{\dagger} und [N,a]=-a\,

damit kann man nun

Na\mid n\rangle=([N,a]+aN)\mid n\rangle=(n-1)a\mid n\rangle zeigen

daraus folgt, dass a\mid n\rangle Eigenvektor von N ist,wobei

a\mid n\rangle=c\mid n-1\rangle

somit ist \langle n\mid a^{\dagger}a\mid n\rangle=|c|^2=n

\Rightarrow c=\sqrt{n}

und somit:a\mid n\rangle=\sqrt{n}\mid n-1\rangle

analog für a^{\dagger}:

a^{\dagger}\mid n\rangle=c\mid n+1\rangle

somit ist \langle n\mid aa^{\dagger}\mid n\rangle=\langle n\mid a^{\dagger}a+1\mid n\rangle=|c|^2=n+1

\Rightarrow c=\sqrt{n+1}

und somit:a^{\dagger}\mid n\rangle=\sqrt{n+1}\mid n+1\rangle

Literatur

Modern Quantum Mechanics von J.J.Sakurai

 
Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Erzeugungs-_und_Vernichtungsoperator aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation. In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.
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