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Landé-Faktor



Der Landé-Faktor (nach Alfred Landé) beschreibt den Zusammenhang zwischen dem Drehimpuls und dem magnetischem Moment eines Elementarteilchens, Atomkerns oder Atoms. Der Drehimpuls wird dabei in Einheiten von \hbar und das magnetische Moment in Einheiten des Bohrschen Magnetons μB gemessen.

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Inhaltsverzeichnis

Veranschaulichung

Wir stellen uns ein klassisches Elektron vor, das sich auf einer Kreisbahn bewegt. Nach den Gesetzen der Elektrodynamik erzeugt dieser Kreisstrom ein magnetisches Dipolfeld. Dieses Dipolfeld wird durch das magnetische Moment beschrieben. Über das Dipolfeld (bzw. das magn. Moment) wechselwirkt das kreisende Elektron mit einem äußeren magnetischen Feld. Zum anderen besitzt das kreisende Elektron auch einen (Bahn-)Drehimpuls bezüglich des Zentrums der Kreisbewegung. Man kann nun innerhalb der klassischen Physik zeigen, dass der Zusammenhang zwischen dem magnetischen Moment und dem Drehimpuls des kreisenden Elektrons durch

\frac{\vec\mu}{\mu_B} = - \frac{\vec L}{\hbar}

gegeben ist, d.h. der Landé-Faktor der Bahnbewegung des Elektrons ist exakt 1.

Landé-Faktor des Elektrons

In der Quantenmechanik wird gezeigt, dass Elektronen eine klassisch nicht erklärbare Eigenschaft, den Spin, besitzen. Dieser verhält sich wie ein Drehimpuls und hängt mit dem magnetischen Moment zusammen. Der Zusammenhang ist ähnlich, er lautet

\frac{\vec\mu}{\mu_B} = - \ g_s \cdot \frac{\vec s}{\hbar}

wobei {\vec s} der Spin und gs der Landé-Faktor, auch gyromagnetischer Faktor genannt, des Elektrons ist. Der Index s steht hier für die Zugehörigkeit zum Elektronenspin und dient beispielsweise der Unterscheidung vom Kern-g-Faktor gI (siehe Hyperfeinstruktur)

Bestimmung des Landé-Faktors des Elektrons

Die Bestimmung des Landé-Faktors des Elektrons hat eine interessante Geschichte. Das Experiment gibt einen Wert von etwa 2. Die theoretische Beschreibung des Elektrons durch die (nichtrelativistische) Schrödinger-Gleichung kennt zunächst keinen Elektronspin. Man muss ihn künstlich einbauen. Genauso steht es mit dem magnetischen Moment des Elektrons aufgrund seines Spins. Das Ergebnis ist die (nichtrelativistische) Pauli-Gleichung.

Die relativistisch quantenmechanische Beschreibung des Elektrons durch die Dirac-Gleichung für Spin-½-Fermionen bringt dann eine überraschende Erkenntnis: Sowohl der Spin als auch ein Landé-Faktor von exakt 2 wird von der Dirac-Gleichung sozusagen automatisch vorausgesagt.

Genauere Experimente zeigten dann geringe Abweichungen des Landé-Faktors von 2. Die Theorie musste also noch weiter verfeinert werden, da das elektromagnetische Feld nicht in seiner quantisierten Form in die Dirac-Gleichung eingeht. Die Quantisierung des elektromagnetischen Feldes führt zur Quantenelektrodynamik. Die Aussage dieser Theorie zum Wert des Landé-Faktors ist etwas diffiziler als in den vorausgegangenen Fällen: Die Antwort lässt sich mathematisch nicht exakt berechnen. Vielmehr muss eine Störungsrechnung angewandt werden, was zulässig ist, da die Abweichungen von g vom Wert 2 klein sind und somit als Störungen aufgefasst werden können. Man rechnet zunächst eine Näherung aus. Dann eine Korrektur zur Näherung. Dann eine weitere Korrektur und so fort. Der exakte Wert kann so immer besser angenähert werden. (Die Näherungen sind im vorliegenden Fall die Vertexkorrekturen eines Elektron-Photon-Vertex; sie können durch Feynman-Diagramme dargestellt werden.)

Die Näherungen liefern für den Landé-Faktor des Elektrons einen theoretischen Wert von

g_s = 2\cdot(1+0{,}0011596524(\pm4))

wohingegen das genaueste Experiment einen Wert von

g_s = 2\cdot(1+0{,}00115965241(\pm20))

für den Landé-Faktor des Elektrons ergibt. Dies ist wohl die genaueste Übereinstimmung von Experiment und Theorie, die eine Naturwissenschaft je erbracht hat.

Bestimmung des Landé-Faktors eines Atoms

Für ein Atom errechnet sich der dem Gesamtdrehimpuls \vec{J}=\vec{L}+\vec{S} zugehörige Landé-Faktor näherungsweise (dh. ohne Korrekturen der Quantenelektrodynamik) nach:

g_J \approx 1+\frac{J(J+1)-L(L+1)+S(S+1)}{2J(J+1)}

S ist dabei die Summe der Elektronenspins, L ist die Summe der Bahndrehimpuls-Quantenzahlen und J=L+S bei mehr als halb-vollen Schalen und sonst J=L-S. Für die Berechnung werden nur die Valenzelektronen hergenommen, die sich nach den Hundschen Regeln auf die verschiedenen Niveaus der höchst besetzten Schale verteilen, da die Drehimpuls- und Spin-Quantenzahlen abgeschlossener Schalen zu Null koppeln.

Siehe auch

 
Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Landé-Faktor aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation. In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.
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