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Pauli-Gleichung



Die Pauli-Gleichung beschreibt die zeitliche Entwicklung von Spin 1/2 Teilchen (wie etwa Elektronen), wenn diese so langsam sind, dass relativistische Effekte keine Rolle spielen. Sie ist der nichtrelativistische Grenzfall der Diracgleichung und lautet:

\underbrace{i \hbar \partial_t \vec \varphi_\pm = \left( \frac{(\underline{\vec p}-q \cdot \vec A)^2}{2 m} + q \phi \right) \hat 1 \vec \varphi_\pm}_{\rm{Schr}\ddot o\rm{dingergleichung} (\rm El/Mag.) } - \underbrace{\frac{q \hbar}{2m}\vec{\hat \sigma} \cdot \vec B \vec \varphi_\pm}_{\rm Stern-Gerlach-Term}.

Weiteres empfehlenswertes Fachwissen

Hier bezeichnet

  • Φ das skalare elektrische Potential
  • A das Vektorpotential
  • \vec \varphi_\pm bzw. in Dirac-Schreibweise |\psi\rang :=\begin{pmatrix} |\varphi_+\rang \\ |\varphi_-\rang  \end{pmatrix} sind Pauli-Spinoren, d.h. zweikomponentige Wellenfunktionen
  • \vec{\hat \sigma} sind die Pauli-Matrizen
  • \vec B ist das externe Magnetfeld
  • \hat 1 steht für die zweidimensionale Einheitsmatrix, also \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Historie

Die Pauli-Gleichung geht auf den österreichischen Physiker Wolfgang Pauli zurück.

Die Schrödingergleichung wurde aufgrund der nicht-relativistischen Energie-Impuls-Beziehung E = \frac{\vec{p}^2}{2m} postuliert. Nun wissen wir, dass die Energie-Impuls-Beziehung relativistisch so lautet: E2 = (m0c2)2 + c2p2, daher wurde die Schrödingergleichung zur Dirac- bzw. Klein-Gordon-Gleichung verallgemeinert.

Das Schöne an der Pauli-Gleichung ist, dass man ausgehend von der Diracgleichung für schwache elektromagnetische Kopplung durch die Näherung in den nicht-relativistischen Grenzfall wieder die Schrödingergleichung erhält und einen mysteriösen zusätzlichen Term, den man klassisch nicht erklären kann. Mit diesem Term kann man allerdings das Verhalten von Silberatomen (ein Valenzelektron) verstehen, die durch ein inhomogenes Magnetfeld fliegen und eine Spinausrichtung erfahren (siehe Stern-Gerlach-Experiment).

Herleitung

Ausgehend von der Dirac-Gleichung für schwache elektromagnetische Wechselwirkung :

i \hbar \partial_t \left( \begin{array}{c} \vec \varphi_1\\\vec \varphi_2\end{array} \right) = c \left( \begin{array}{c} \vec{\hat \sigma} \vec \pi \vec \varphi_2\\\vec{\hat \sigma} \vec \pi \vec \varphi_1\end{array} \right)+q \phi \left( \begin{array}{c} \vec \varphi_1\\\vec \varphi_2\end{array} \right) + mc^2 \left( \begin{array}{c} \vec \varphi_1 \\-\vec \varphi_2\end{array} \right)

mit \vec \pi = \vec p - q \vec A

verwendet man die drei Näherungen:

  • Vereinfachen der Gleichung durch folgenden Ansatz:

\left( \begin{array}{c} \vec \varphi_1 \\ \vec \varphi_2 \end{array}  \right) = e^{-i \frac{mc^2t}{\hbar}} \left( \begin{array}{c} \vec{\tilde \varphi_1} \\ \vec{\tilde \varphi_2} \end{array} \right)

  • Abspaltung der Ruheenergie durch einen Ansatz mit langsamer Zeitabhängigkeit \partial_t \vec \varphi_i \ll \frac{mc^2}{\hbar} \vec \varphi_i
  • Schwache Kopplung des elektrischen Potentials, also q \phi \ll mc^2

Genaue Herleitung der Pauligleichung aus der Diracgleichung als pdf (80kb)

Quellen

  • Vorlesungen zur Theoretischen Physik bei Prof. Dr. Andreas Knorr (pdf bzw. Website der Vorlesung)
  • Schwabl: Quantenmechanik. Berlin, Springer Verlag. 1997
  • Schwabl: Quantenmechanik für Fortgeschrittene. Berlin, Springer Verlag. 1997
  • Cohen-Tannoudji: Quantum Mechanics. Volume 2. New York, Wiley Verlag. 1977
 
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