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Plancksches Strahlungsgesetz



  Das plancksche Strahlungsgesetz beschreibt die Intensitätsverteilung der elektromagnetischen Energie und Leistung bzw. die Dichteverteilung aller Photonen in Abhängigkeit von Wellenlänge bzw. Frequenz, die von einem schwarzen Körper – einer idealen Strahlungsquelle – bei einer bestimmten Temperatur abgestrahlt werden.

Das plancksche Strahlungsgesetz wird in verschiedenen Formelvarianten dargestellt, die Größen für Intensitäten, Flussdichten und Spektralverteilungen verwenden, welche für die betrachteten Sachverhalte zweckmäßig sind. Alle Formen der unterschiedlichen Strahlungsgrößen sind lediglich unterschiedliche Formen des einen Gesetzes.

Ende des 19. Jahrhunderts versuchten die Physiker das Abstrahlungsspektrum des schwarzen Körpers auf der Grundlage der Gesetze der klassischen Physik, statistischen Physik und der Elektrodynamik zu verstehen. Einander widersprechende Hypothesen (wiensches Strahlungsgesetz, Rayleigh-Jeans-Gesetz) und ihre nur teilweise Übereinstimmung mit den Messwerten führten zu einer nicht zufriedenstellenden Situation. Erst Max Planck gelang es zur Jahrhundertwende, ein Strahlungsgesetz zu finden, das mit den Messungen in völligem Einklang stand. Nach seiner Deutung durch Albert Einstein 1905 wurde es die Grundlage der Quantenmechanik.

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Inhaltsverzeichnis

Bedeutung

Nach dem kirchhoffschen Strahlungsgesetz sind für jeden Körper bei jeder Wellenlänge das Absorptionsvermögen und das Emissionsvermögen für thermische Strahlung proportional zueinander. Ein Schwarzer Körper ist ein hypothetischer Körper, der bei jeder Wellenlänge die auf ihn treffende Strahlung vollständig absorbiert. Da sein Absorptionsvermögen bei jeder Wellenlänge den größtmöglichen Wert annimmt, nimmt auch sein Emissionsvermögen bei allen Wellenlängen den maximal möglichen Wert an. Ein realer Körper kann bei keiner Wellenlänge mehr thermische Strahlung aussenden als ein Schwarzer Körper, der daher eine ideale thermische Strahlungsquelle darstellt. Da sein Spektrum außerdem von keinen anderen Parametern als der Temperatur abhängt, insbesondere von keinen Materialeigenschaften, stellt er eine für zahlreiche Zwecke nützliche Referenzquelle dar.

Neben der erheblichen praktischen Bedeutung des Schwarzen Körpers gilt die Entdeckung des planckschen Strahlungsgesetzes im Jahre 1900 gleichzeitig als Geburtsstunde der Quantenmechanik, da Planck zur Erklärung der zunächst empirisch gefundenen Formel annehmen musste, dass Licht (bzw. elektromagnetische Strahlung im Allgemeinen) nicht kontinuierlich, sondern nur diskret in Quanten (heute spricht man von Photonen) aufgenommen und abgegeben wird.

Das plancksche Strahlungsgesetz

Für die mathematische Darstellung des Gesetzes existieren zahlreiche verschiedene Varianten, je nachdem ob das Gesetz in Abhängigkeit von der Frequenz oder der Wellenlänge formuliert werden soll, ob die Intensität der Strahlung in eine bestimmte Richtung oder die Abstrahlung in den gesamten Halbraum betrachtet werden soll, ob Strahlgrößen, Energiedichten oder Photonenzahlen beschrieben werden sollen. Diese verschiedenen Formen werden in der Formelsammlung plancksches Strahlungsgesetz in ihrem gegenseitigen Zusammenhang ausführlich dargestellt und erläutert.

Häufig gebraucht wird die Formel für die spektrale spezifische Ausstrahlung M^o_\nu(\nu, T) eines Schwarzen Körpers der absoluten Temperatur T. Für sie gilt

in der Frequenzdarstellung:

M^o_{\nu}(\nu, T) \, \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu \,  = \frac{2\pi h\nu^{3}}{c^2} \frac{1}{e^{\left(\frac{h\nu}{kT}\right)}-1}\mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu
SI-Einheit von M^o_{\nu}(\nu, T): W m-2 Hz-1

und in der Wellenlängendarstellung:

M^o_{\lambda}(\lambda, T) \, \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\lambda \, = \frac{2\pi h c^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\left(\frac{hc}{\lambda kT}\right)}-1}\mathrm{d}A \, \mathrm{d}\lambda
SI-Einheit von M^o_{\lambda}(\lambda, T): W m-2 μm-1.


M^o_{\nu}(\nu, T) \, \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu ist die Strahlungsleistung, die vom Flächenelement dA im Frequenzbereich zwischen ν und ν + dν in den gesamten Halbraum abgestrahlt wird. Weiter sind h das plancksche Wirkungsquantum, c die Lichtgeschwindigkeit und k die Boltzmannkonstante.

Bei der Umrechnung zwischen Frequenz- und Wellenlängendarstellung ist zu beachten, dass wegen

\lambda = \frac{c}{\nu} gilt:
|\mathrm{d}\lambda| = \frac{c}{\nu^2} |\mathrm{d}\nu|   und   |\mathrm{d}\nu| = \frac{c}{\lambda^2} |\mathrm{d}\lambda|

Folgerungen

Das plancksche Strahlungsgesetz vereinigte und bestätigte Gesetzmäßigkeiten, die schon vor seiner Entdeckung teils empirisch, teils aufgrund thermodynamischer Überlegungen gefunden worden waren:

  • das Stefan-Boltzmann-Gesetz, welches die gesamte abgestrahlte Energie eines Schwarzen Körpers (proportional zu T4) angibt.
  • das Rayleigh-Jeans-Gesetz, das die spektrale Energieverteilung für lange Wellenlängen beschreibt.
  • das wiensche Strahlungsgesetz, das die spektrale Energieverteilung für kurze Wellenlängen wiedergibt.
  • das wiensche Verschiebungsgesetz, das Wilhelm Wien (1864–1928) 1893 formulierte, welches den Zusammenhang zwischen Emissionsmaximum eines Schwarzen Körpers und seiner Temperatur herstellt.

Strahlungsgesetze und Quantenhypothese

Man betrachte als vereinfachtes Beispiel einen kubusförmigen Hohlraum der Seitenlänge L und des Volumens V, welcher elektromagnetische Hohlraumstrahlung im thermischen Gleichgewicht enthält. Im Gleichgewicht können sich nur stehende Wellen ausbilden; die erlaubten Wellen können in eine beliebige Richtung laufen, müssen dabei jedoch die Bedingung erfüllen, dass zwischen zwei gegenüberliegende Hohlraumflächen jeweils eine ganzzahlige Anzahl von Halbwellen passt. Es sind also nur bestimmte diskrete Schwingungszustände erlaubt; die gesamte Hohlraumstrahlung setzt sich aus diesen stehenden Wellen zusammen. Wie sich zeigen lässt, gibt es im Frequenzintervall zwischen ν und ν + dν insgesamt \frac{8 \pi V}{c^3} \nu^2 \mathrm{d}\nu erlaubte Schwingungszustände. Die Anzahl erlaubter Schwingungszustände nimmt bei höheren Frequenzen zu, weil es für Wellen mit kürzerer Wellenlänge mehr Möglichkeiten gibt, sich so in den Hohlraum einzupassen, dass die Ganzzahligkeitsbedingungen für ihre Komponenten in x-, y- und z-Richtung erfüllt sind. Die Zustandsdichte, das heißt die Anzahl erlaubter Schwingungszustände im Frequenzintervall zwischen ν und ν + dν und pro Volumeneinheit, ist

g(\nu) \, \mathrm{d}\nu \, = \, \frac{8 \pi}{c^3} \, \nu^2 \, \mathrm{d}\nu.

Fasst man diese Schwingungszustände jeweils als harmonische Oszillatoren der Frequenz ν auf, so wäre nach dem Gleichverteilungssatz der klassischen Thermodynamik zu erwarten, dass im thermischen Gleichgewicht bei der Temperatur T im Mittel jeder dieser Oszillatoren die kinetische Energie kT/2 und die potentielle Energie kT/2, also insgesamt die Energie kT trägt. Die Energiedichte der Hohlraumstrahlung im Frequenzintervall zwischen ν und ν + dν wäre demnach

U_{\nu}^{RJ}(\nu, T)  \, \mathrm{d}\nu \, = \, \frac{8 \pi}{c^3} \, kT \, \nu^2 \, \mathrm{d}\nu.

Dies ist das Strahlungsgesetz nach Rayleigh-Jeans. Es gibt die tatsächlich gemessene Energiedichte bei niedrigen Frequenzen gut wieder, sagt aber fälschlich eine mit höheren Frequenzen stets quadratisch wachsende Energiedichte voraus (Ultraviolett-Katastrophe), sodass der Hohlraum über alle Frequenzen integriert eine unendliche Energiedichte enthalten müsste: Jeder vorhandene Schwingungszustand trägt zwar im Mittel nur die Energie kT, aber es sind unendlich viele solcher Schwingungszustände angeregt.

Planck stützte sich bei seiner Herleitung des Strahlungsgesetzes nicht auf den Rayleighschen Ansatz, vielmehr ging er von Wiens 1896 empirisch ermitteltem Strahlungsgesetz aus, welches aber bei niedrigen Frequenzen versagte. Planck verbesserte 1900 diese Formel, indem er zunächst einfach eine "-1" in das wiensche Strahlungsgesetz einfügte. Damit blieb diese Formel reine Empirie - aber sie beschrieb die bekannten experimentellen Messungen über das gesamte Frequenzspektrum korrekt. Planck gab sich damit aber nicht zufrieden. Es gelang ihm die Strahlungskonstanten C und c aus der wienschen Formel durch Naturkonstanten zu ersetzen, nur ein Faktor h ("hilf") blieb übrig. So kam er innerhalb weniger Monate zu einem epochemachenden Ergebnis, es war die Geburtsstunde der Quantenphysik: Er musste sich selbst gegen seine eigene Überzeugung eingestehen, dass die Energieabgabe nicht kontinuierlich erfolgt, sondern nur in Vielfachen von kleinsten "h"-Einheiten, die ihm zu Ehren dann später als Plancksches Wirkungsquantum bezeichnet wurde.

Nach dieser von Planck eingeführten Quantenhypothese kann ein Oszillator der Frequenz ν anstelle beliebiger Energiemengen nur ganzzahlige Vielfache der Energie aufnehmen; insbesondere bedarf er einer Mindestenergie , um überhaupt angeregt zu werden. Schwingungszustände, deren Mindestenergie deutlich über der thermisch zur Verfügung gestellten Energie kT liegen, können nicht angeregt werden, sie bleiben eingefroren. Schwingungszustände, deren Mindestenergie wenig über kT liegt, können mit gewisser Wahrscheinlichkeit angeregt werden, so dass von ihnen ein bestimmter Bruchteil zur gesamten Hohlraumstrahlung beiträgt. Lediglich Schwingungszustände mit niedriger Mindestenergie , also kleineren Frequenzen, können die angebotene thermische Energie vollständig aufnehmen und werden (im Mittel) mit Sicherheit angeregt. Die statistische Thermodynamik zeigt, dass unter diesen Bedingungen ein Schwingungszustand der Frequenz ν im Mittel die Energie \frac{h\nu}{e^{\left(\frac{h\nu}{kT}\right)}-1} trägt. Multiplikation mit der Dichte der erlaubten Schwingungszustände g(\nu) \, \mathrm{d}\nu führt auf die plancksche Energiedichte

U^o_{\nu}(\nu, T) \, \mathrm{d}\nu \, = \, \frac{8 \pi h \nu^{3}}{c^3} \frac{1}{e^{\left(\frac{h\nu}{kT}\right)}-1} \, \mathrm{d}\nu.

Die Ultraviolett-Katastrophe wird nach Planck also dadurch vermieden, dass die höherfrequenten elektromagnetischen Schwingungszustände, die nach geometrischen Kriterien durchaus im Hohlraum existieren könnten, wegen ihrer hohen Anregungsschwelle durch die zur Verfügung stehende thermische Energie nicht angeregt werden können und daher nicht zur Energiedichte im Hohlraum beitragen. Die spektrale Energiedichte nimmt deshalb zu höheren Frequenzen hin wieder ab, nachdem sie ein Maximum durchlaufen hat, und die Gesamtenergiedichte bleibt endlich.

Intensitätsverteilung der Schwarzkörperstrahlung

Ausstrahlung

  Das erste nebenstehende Bild zeigt Plancksche Strahlungsspektren für verschiedene Temperaturen zwischen 300 K und 1000 K in linearer Darstellung. Man erkennt die typische Glockenform mit einem deutlich ausgeprägten Strahlungsmaximum, einem steilen Abfall zu kurzen Wellenlängen hin und einem länger auslaufenden Abfall zu großen Wellenlängen hin. Die Lage des Strahlungsmaximums verschiebt sich, wie es das wiensche Verschiebungsgesetz verlangt, mit zunehmender Temperatur zu kürzeren Wellenlängen. Gleichzeitig nimmt gemäß dem Stefan-Boltzmann-Gesetz die gesamte spezifische Ausstrahlung (sie entspricht der Fläche unter der jeweiligen Kurve für die spektrale spezifische Ausstrahlung) mit der vierten Potenz der absoluten Temperatur zu. Dieses überproportionale Anwachsen der Strahlungsintensität mit steigender Temperatur macht es schwierig, Kurven über einen größeren Temperaturbereich in einem Diagramm darzustellen.

  Das zweite Bild verwendet daher für beide Achsen eine logarithmische Unterteilung. Dargestellt sind hier Spektren für Temperaturen zwischen 100 K und 10000 K.

Rot hervorgehoben ist die Kurve für 300 K, was typischen Umgebungstemperaturen entspricht. Das Maximum dieser Kurve liegt bei 10 μm; im Bereich um diese Wellenlänge, dem langwelligen Infrarot, findet also der Strahlungsaustausch von Objekten auf Raumtemperatur statt. Typische Infrarotthermometer und Thermografiekameras arbeiten in diesem Bereich.

Die Kurve für 3000 K entspricht dem typischen Strahlungsspektrum einer Glühlampe. Nun wird bereits ein Teil der emittierten Strahlung im schematisch angedeuteten sichtbaren Spektralbereich abgegeben. Das Strahlungsmaximum liegt jedoch noch im nahen Infrarot.

Gelb hervorgehoben ist die Kurve für 5777 K, die Effektivtemperatur der Sonne. Das Strahlungsmaximum liegt nun mitten im sichtbaren Spektralbereich. Die von der Sonne thermisch ausgestrahlte UV-Strahlung wird glücklicherweise zum größten Teil von der Ozonschicht der Erdatmosphäre ausgefiltert.

Einstrahlung

Wie dem Diagramm zu entnehmen ist, liegt die spektrale spezifische Ausstrahlung der Sonne für alle Wellenlängen deutlich über der Ausstrahlung von terrestrischen Gegenständen mit T ≈ 300 K. Bei einer Wellenlänge von 10 μm strahlt beispielsweise ein Quadratmeter Sonnenoberfläche etwa 400mal so stark wie ein Quadratmeter Hausfassade. Dies bedeutet jedoch nicht, dass die uns umgebende Wärmestrahlung überwiegend von der Sonne stammt. Für die auf einen Quadratmeter Empfängerfläche bezogene spektrale Bestrahlungsstärke ist die spektrale Strahldichte der Sendefläche mit dem Raumwinkel Ω zu multiplizieren, den diese Fläche vom Empfänger aus gesehen einnimmt. Die Sonne stellt für einen irdischen Empfänger eine sehr kleine Quelle dar (Ω = 6,8·10-5 sr). Vergleicht man sie z.B. mit einem 300 K warmen terrestrischen Objekt, welches das Gesichtsfeld des Empfängers zur Hälfte ausfüllt (Ω = 3,14 sr), so ist die Bestrahlungsstärke der Sonne bei λ = 10 μm um den Faktor 400·(6,8·10-5 / 3,14) ≈ 1/100 geringer, also praktisch vernachlässigbar. Dazu kommen noch die Absorption eines Teils der solaren Wärmestrahlung durch die Atmosphäre und eine weitere Reduktion bei nicht senkrechter Bestrahlung der Empfängerfläche.

Siehe auch

  • Grauer Körper
  • Glut (Lichtausstrahlung)
  • Strahlungsaustausch
  • Zur historischen Entwicklung siehe auch: Max Planck


Literatur

  • Baehr, H.D., Stephan, K.: Wärme- und Stoffübertragung, 4. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2004, ISBN 3-540-40130-X; Kap. 5: Wärmestrahlung
 
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