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Zustandssumme



Zustandssummen sind wesentliche Werkzeuge der statistischen Physik. Aus einer Zustandssumme (der Funktion, nicht dem Wert) lassen sich alle thermodynamischen Größen ableiten. Wenn die Teilchenzahlen N groß genug sind, kann man das System auch als kontinuierlich ansehen und die Zustandssummen als Zustandsintegrale formulieren.

Inhaltsverzeichnis

Mikrokanonische Zustandssumme

Die mikrokanonische Zustandssumme Ω(E,x) ist die Zahl der erreichbaren Mikrozustände ψ eines abgeschlossenen Systems im Gleichgewicht bei fester Gesamtenergie E und festen äußeren Parametern x.

Der Γ-Raum (auch Phasenraum genannt) eines idealen Gases hat 6N Dimensionen - 3N Dimensionen für die Ortskoordinaten und 3N für die Impulskoordinaten der N Teilchen. Die in der Mikrokanonik betrachteten abgeschlossenen Systeme haben eine konstante Energie, die im Γ-Raum als Fläche erscheint, auf der sich das System bewegen kann. Summiert bzw. integriert wird dabei über die Energieschale von E − δE bis E auf der Hyperfläche des Systems im Γ-Raum. Die Schale hat dabei die Breite δE. Man summiert nur über den Rand der Energiesphäre, da sich für N > > 1 fast alle Zustände auf dem Rand befinden.

\Omega (E,x) = \sum_{ E - \delta E \le E_{\psi} (x) \le E } 1

Die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Mikrozustand ψ anzutreffen, ist:

P_\psi = \begin{cases} \frac{1}{\Omega(E_\psi, x)} & \mbox{fuer } E - \delta E \le E_\psi(x) \le E \\ 0                           & \mbox{sonst} \end{cases}


In integraler Schreibweise wird die Zustandssumme zum Zustandsintegral:

\Omega(E,x) = \int\limits_{E - \delta E \le E_\psi(x) \le E} \frac{d^{3N} p d^{3N} q}{h^{3N} N!}

Kanonische Zustandssumme

Bei der kanonischen Zustandssumme wird nicht die Energie des Systems vorgegeben, sondern die Temperatur. Das zugehörige Ensemble heißt kanonisches Ensemble oder Gibbs-Ensemble. Für die Zustandssumme ergibt sich dann folgende Beziehung:

Z(T,x) = \sum_\psi\mathrm{e}^{-\frac{E_\psi(x)}{k_\mathrm{B}T}}

Die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Mikrozustand ψ anzutreffen, ist:

P_\psi = \frac{1}{Z(T,x)} \mathrm{e}^{-\frac{E_\psi(x)}{k_\mathrm{B} T}}

Das kanonische Zustandsintegral ist:

Z(T,x) = \int \mathrm{e}^{-\frac{H}{k_\mathrm{B}T}} \, \frac{d^{3N} p \, d^{3N} q}{h^{3N} N!}

H ist in diesem Fall die Hamilton-Funktion.
Der Faktor 1/N! stammt von der Tatsache, dass die Teilchen nicht unterscheidbar sind. Wenn man diesen Faktor wegließe, würde man N!-mal zuviele Mikrozustände des Systems zählen.

Großkanonische Zustandssumme

Die großkanonische Zustandssumme stellt eine Erweiterung der kanonischen Zustandssumme dar. Hier wird neben der Temperatur auch das chemische Potential μ vorgegeben.

\Xi(T, V, \mu) = \sum_\psi\mathrm{e}^{-\frac{E_\psi(x) - \mu N_\psi}{k_\mathrm{B}T}} = \sum_{N=0}^\infty Z(T,V,N)\cdot\mathrm{e}^{\frac{\mu N}{k_\mathrm{B}T}}

Die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Mikrozustand ψ anzutreffen, ist:

P_\psi = \frac{1}{\Xi(T, V, \mu)}      \mathrm{e}^{-\frac{E_\psi(x) - \mu N_\psi}{k_\mathrm{B} T}}

In integraler Schreibweise lautet die Zustandssumme, bzw. das Zustandsintegral:

\Xi(T, V, \mu) = \int\limits_{\psi}  \mathrm{e}^{-\frac{E_\psi(x) - \mu N_\psi}{k_\mathrm{B}T}}  \, \frac{d^{3N} p \, d^{3N} q}{h^{3N} N!}

Es gibt einen eleganteren Weg, von der kanonischen Zustandssumme zur großkanonischen zu kommen: Man nimmt die kanonische Zustandssumme und summiert sie zusammen mit der Fugazität auf:

\Xi(T, V, \mu) = \sum\limits_{N=0}^{\infty} z^N \cdot Z(T,x)

z ist dabei die Fugazität.

Thermodynamische Potentiale

S(E, x) = k_\mathrm{B} \,\ln\Omega(E,x)
F(T, x) = - k_\mathrm{B}T  \,\ln Z(T, x)
J(T, V, \mu) = - k_\mathrm{B}T  \,\ln \Xi(T, V, \mu)

Hier ist S die Entropie, F ist die Helmholtz-Energie (auch freie Energie genannt), sowie J das Großkanonische Potential.

Für x = V (das Volumen), ergeben sich folgende totale Differentiale, wobei P der Druck ist:

\mathrm{d}S = \frac{1}{T} \mathrm{d}E + \frac{P}{T} \mathrm{d}V - \frac{\mu}{T} \mathrm{d}N
\mathrm{d}F = - S \mathrm{d}T - P \mathrm{d}V + \mu \mathrm{d}N \,
\mathrm{d}J = - S \mathrm{d}T - P \mathrm{d}V - N \mathrm{d} \mu \,

Hinweis

Die Englische Übersetzung von Zustandssumme ist partition function.

Partition bedeutet hier Zustand: Die Darstellung einer Zahl in allen ihren Zuständen als Summe positiver Ganzzahlen, z. B. sind die Zustände von 4:

  • 1+1+1+1
  • 1+1+2
  • 1+3
  • 2+2
  • 4

Die Quantenmechanik und statistische Physik ordnet auf diese Weise Atome in Zellen an.

Zu der mathematischen Seite siehe den Artikel Partitionsfunktion.

Siehe auch

Literatur

  • Torsten Fließbach: Statistische Physik (1995), ISBN 3860257153 - Eine Einführung in die Statistische Physik und Thermodynamik
 
Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Zustandssumme aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation. In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.
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