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Würfel (Geometrie)



Der Würfel (auch gleichseitiges Hexaeder [hɛksaˈeːdər], von griech. hexáedron, „Sechsflächner“, oder Kubus, von lat. cubus, „Würfel“) ist einer der fünf platonischen Körper, genauer ein (dreidimensionales) Polyeder (ein Vielflächner) mit

  • sechs (kongruenten) Quadraten als Begrenzungsflächen
  • zwölf (gleichlangen) Kanten und
  • acht Ecken, in denen jeweils drei Begrenzungsflächen zusammentreffen

Der Würfel ist ein spezielles (dreidimensionales) Parallelepiped (Parallelflach), ein spezieller (nämlich gleichseitiger) Quader sowie ein spezielles gerades quadratisches Prisma.

Weiteres empfehlenswertes Fachwissen

Inhaltsverzeichnis

Symmetrie

  Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Seiten sind untereinander gleichartig – ist der Würfel ein reguläres Polytop. Er hat

  • drei vierzählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten),
  • vier dreizählige Drehachsen (durch gegenüberliegende Ecken),
  • sechs zweizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten) und
  • neun Spiegelebenen (sechs Ebenen durch jeweils vier Ecken, drei Ebenen durch je vier Kantenmittelpunkte)

und ist

  • punktsymmetrisch (zentralsymmetrisch).

Für eine vierzählige Drehachse gibt es 3 Symmetrieoperationen (Drehung um 90°, 180° und 270°), für eine dreizählige Drehachse dementsprechend 2 Symmetrieoperationen. Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Würfels 48 Elemente. Man bezeichnet sie in der Notation von Schönflies als Oh, in der Notation von Hermann / Mauguin als 4/m\ \bar{3}\ 2/m oder allgemein aber etwas ungenau als Oktaeder- bzw. Würfelgruppe.

Beziehungen zu anderen Polyedern

Der Würfel ist das zum Oktaeder duale Polyeder (und umgekehrt). Außerdem beschreiben die Eckpunkte des Würfels zwei punktsymmetrische reguläre Tetraeder, welche zusammen das Sterntetraeder als weiteren regulären Körper bilden.

Mithilfe von Würfel und Oktaeder können zahlreiche Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Würfelgruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel

  • den abgestumpften Würfel mit 6 Achtecken und 8 Dreiecken
  • das Kuboktaeder mit 6 Quadraten und 8 Dreiecken, also 14 Seiten, und 12 Ecken
  • das abgestumpfte Oktaeder mit 6 Quadraten und 8 Sechsecken

als Durchschnitte eines Würfels mit einem Oktaeder (siehe archimedische Körper) und

als konvexe Hülle einer Vereinigung eines Würfels mit einem Oktaeder.

Der Würfel ist Baustein der regulären Würfelparkettierung.

Formeln

Größen eines Würfels mit Kantenlänge a
Volumen V \, = \, a^3
Oberflächeninhalt A_O \, = \, 6 \, a^2  = V\,'\,(\frac{a}{2})
Umkugelradius r_u \, = \, \frac{\sqrt{3}}{2} \, a \approx 0{,}87 \, a
Inkugelradius r_i \, = \, \frac{1}{2} \, a
Länge einer Raumdiagonale d \, = \, \sqrt{3} \, a \approx 1{,}73 \, a
Verhältnis von Volumen
zu Umkugelvolumen
\frac{V}{V_{UK}} = \, \frac{2}{3\pi} \sqrt{3} \, \approx 0{,}37

Hexaeder in der Chemie

Eine organische Verbindung, die wie ein Würfel aufgebaut ist, ist das nach dem englischen Cube (engl. für Würfel) benannte Cuban.

Verallgemeinerung

Auch die Analoga des Würfels in beliebiger Dimension n werden als (n-dimensionale) Würfel (oder Hyperwürfel) bezeichnet und sind ebenfalls reguläre Polytope. Der n-dimensionale Würfel hat 2^{n-k} {n \choose k} begrenzende Seiten der Dimension k. Spezialfälle:

  • Der nulldimensionale Würfel (Punkt) hat 1 Ecke.
  • Der eindimensionale Würfel (Strecke) hat 2 Ecken und 1 Kante.
  • Der zweidimensionale Würfel (Quadrat) hat 4 Ecken, 4 Kanten und 1 Fläche
  • Der vierdimensionale Hyperwürfel (Tesserakt) hat 16 Ecken, 32 Kanten, 24 Seitenquadrate und 8 Seitenwürfel.
  • Der n-dimensionale Würfel hat 2n Ecken (k=0), n 2n − 1 Kanten (k=1), (n2n) 2n − 3 Flächen (k=2), n\left(\frac {n^2+2}{3}-n\right) * 2^{n-4} Volumen (k=3) und 2n (n–1)-dimensionale Würfel als (k=n–1)-dimensionale Seiten (Facetten).

Ein Modell für den n-dimensionalen Würfels ist der Einheitswürfel In im Vektorraum Rn. Und zwar ist der abgeschlossene Einheitswürfel

  • I^n = \left\{ (x_1,\dots,x_n) \mid 0 \le x_i \le 1 \right\}
  • I^n = [0,1] \times \cdots \times [0,1], das n-fache kartesische Produkt des Einheitsintervalls
  • die konvexe Hülle der 2n Eckpunkte mit den Koordinaten 0 und 1
  • der Durchschnitt der 2n Halbräume x_i \ge 0 und x_i \le 1

Der Einheitswürfel ist ein achsenparalleler Würfel mit der Kantenlänge 1 und einer Ecke im Koordinatenursprung. Eine Verallgemeinerung dieses Konzepts sind Quader im Rn, die in der mehrdimensionalen Analysis eine Rolle spielen.

 
Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Würfel_(Geometrie) aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation. In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.
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